[理学]三角函数图像及性质习题含答案.doc

三角函数 一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系 (一)知识内容 角的概念的推广角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的. 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角. 正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. 在直角坐标系中讨论角： 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角. 2.终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为.集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为. 3.弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周等分，其中1份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.教师备案一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角. 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制. 弧度与角度的换算：，任意角的三角函数1.三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 比值叫做的正弦，记作，即； 比值叫做的余弦，记作，即； 比值叫做的正切，记作，即； 比值叫做的余切，记作，即； 比值叫做的正割，记作，即； 比值叫做的余割，记作，即. 2.三角函数的定义域、值域 函数 定义域 值域 3.三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： 正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； 余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； 正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）. 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.同角三角函数的基本关系式：， 商数关系：， 倒数关系： 6.诱导公式： 角与的三角函数间的关系；,,; ⑵角与的三角函数间的关系；,,; ⑶角与的三角函数间的关系；,,; ⑷角与的三角函数间的关系.,,. 4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一等等单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.圆心点，轴交点分别为，，而与轴的交点分别为，.由三角函数的定义可知，点的坐标为，即.其中，. 这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点），则(或). ⑵有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. 三角函数线的定义： 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.我们就分别称有向线段，为正弦线、余弦线、正切线. (一) 知识内容 1.三角函数的图象 2.函数的图象的作法――五点法 ①确定函数的最小正周期； ②令＝0、、、、，得、、、、，于是得到五个关键点、、、、； ③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数的图象． 3.的图象 函数的图象可以用下面的方法得到：先把 的图象上所有点向左或向右平行移动个单位；再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍（横坐标不变），从而得到的图象．当函数表示一个振动量时：叫做振幅；叫做周期；叫做频率；叫做相位，叫做初相． 上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换 要得到函数的图象，可以令，也就是原来的变成了现在的，相当于x减小了，即可以看做是把的图象上的各点向左或向右平行移动个单位而得到的．这种由的图象变换为的图象的变换，使相位由变为，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换 要得到函数的图象，令，即现在的缩小到了原来的倍，就可以看做是把的图象上的各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由的图象变换为的图象，其周期由变为，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换 要得到的图象，令，即相当于变为原来的A倍，