[理学]三重积分.ppt

3. 设?由锥面 3. 计算 * 第三节 一、三重积分的概念 三、三重积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分(17+16) 第十章 二、三重积分的性质 一、三重积分的概念 采用微元法，即 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种非均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 “分割、 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得: 取近似、 求和、 取极限” 定义. 设 若存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在空间直角坐标系下常写作 物理意义： 做极限： 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:三重积分没有几何意义. 二、三重积分的性质 （与二重积分类似） 对称性定理 关于 xoy 面对称 1、 若 关于 z 是奇函数 若 关于 z 是偶函数 其中 位于 xoy 面一侧的部分 是 对称性定理 关于 yoz 面对称 2、 若 关于 x 是奇函数 若 关于 x 是偶函数 其中 位于 yoz 面一侧的部分 是 对称性定理 关于 xoz 面对称 3、 若 关于 y 是奇函数 若 关于 y 是偶函数 其中 位于 xoz 面一侧的部分 是 对称性定理 关于 yoz 面和 zox 面都对称， 4、 且 x 和 y 都是偶函数 其中 位于 是 关于 的部分 关于三个坐标面都对称， 5、 且 z 都是偶函数 其中 位于第一卦限的部分 是 关于x、y、 三、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二法”) 方法2 . 截面法 (“先二后一法”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 上述方法可推广到一般可积函数的三重积分的计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 计算时不受 的限制) 方法1. 投影法 (“先一后二法” ) 该物体的质量为 细长柱体的质量微元为 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (线质量) (细柱体质量微元) 方法2. 截面法 (“先二后一法”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量微元为 该物体的质量为 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (面质量) (薄片质量微元) 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二法” 方法2. “先二后一法” 方法3. “三次积分法” 具体计算时应根据被积函数及 三种方法各有特点, 积分域灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算三重积分 解: 用“先二后一 法” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算三重积分 其中 由曲面 所围成. 解： 将 投影到 xoz 面上，得 原式= 2. 利用柱面坐标计算三重积分 点M 的柱面坐标为 柱面坐标与直角坐标的关系: 坐标面： 圆柱面 半平面 平面 1、柱面坐标： 设 2、在柱面坐标系中体积元素： 因此 3、适用范围: 当 或 被积函数 f 与 有关时， 可考虑柱面坐标. 在 xoy 面上的投影区域与圆有关， 其中?为由 例5. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 例6. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 3. 利用球面坐标计算三重积分 称为点M 的球面坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面： 球面 半平面 锥面 其柱面坐标为 1、 2、 在球面坐标系中体积元素为 因此有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由直角坐标与球面坐标的关系: 再化为 先对 次对 后对 的三次积分 3、适用范围: 当 或 被积函数 f 与 有关时， 可考虑球面坐标. 与球有关， 例7. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8.计算 其中 解: 旋转曲面的方程为 绕 Z 轴旋转一周形成的曲面与平面 所围的区域. 为