[理学]专升本辅导-第7讲无穷级数-2.ppt

按照上面的方法不断地做下去, 是否有下面的结论: 等号成立吗？ 该级数收敛吗？ 即便是级数收敛, 其和函数等于 f (x) 吗？ 定理 证 由定理的条件可知, 且其和函数 于是有 由数学归纳法, 得 该定理说明, 幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式: 例3 解 综上所述, 得: 谁的收敛半径？ 例4 解 由交错级数判别法, 可知此时级数收敛. 例5 解 由级数收敛的必要条件, 可知 综上所述, 这是一个缺项的幂级数, 不能直接运用求幂 级数收敛半径的计算公式. 今后遇到这类级数应 该按照函数项级数的情形处理, 通常是采用下列 方法 例6 解 幂级数的运算 幂级数的四则运算 幂级数的解析运算 三. 幂级数的运算 幂级数的四则运算 设有两个幂级数 则有以下运算规则 1. 加、减法 2. 乘 法 ( 对角线法 ) 就是说, 在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算. 由收敛的必要条件知原级数发散. 例7 解 专升本辅导课程 无穷级数（4） 台州职业技术学院数学教研室 函数展开为幂级数 一、幂级数的解析运算 三、函数展开为幂级数 四、函数展开为幂级数应用举例 函数展开为幂级数 二、泰勒级数 一、幂级数的解析运算 1 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的 在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性. 幂级数的解析运算 2 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然, 幂级数也在其收敛区间内可积. 逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变. 首项为 x , 公比为 x . 例1 解 符合积分要求了 分析 例2 等比级数 例2 解 幂级数的解析运算 3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数 为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起 始值 . 例3 解 由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得 例4 分析 练 习 题 练习题答案 在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分. 就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性. 幂级数的性质多好啊 ！ 如何将函数表示为幂级数? 怎么做？ 二、泰勒级数 将函数展开为幂级数得的问题是否 就是将函数展开为泰勒级数的问题? 一个幂级数在其收敛区间内代 表一个函数, 即它的和函数: 任意一个函数能否在某一个区间内表示为 某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 工程需要 泰勒公式 问题 回忆泰勒中值定理的构建过程 * 第7讲 无穷级数(2) 台州职业技术学院数学教研室 （1）理解级数收敛、发散的概念和级数的基本性质.掌握级数收敛的必要条件. （2）熟记几何级数 复习要求—数项级数 调和级数 与p-级数 的敛散性.会用正项级数的比较审敛法与比值审敛法判别正项级数的敛散性. （3）理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会用莱布尼茨(Leibnitz) 判别法判别交错级数的敛散性. （4）理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念. 会求幂级数的收敛半径和收敛区间. （5）掌握幂级数的和、差、积的运算. （6）掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、和函数可以逐项求导及和函数可以逐项积分. （7）熟记ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（Maclaurin）级数，会将一些简单的初等函数展开为x-x0的幂级数. 复习要求—幂级数 幂 级 数 一. 函数项级数 二. 幂级数及其敛散性 三. 幂级数的运算 1. 函数项级数的定义 设有一函数序列 为定义在区间 I 上的函数项级数. 一、函数项级数 函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数 2. 函数项级数的敛散性 的收敛点 . 的发散点 . 它的收敛域, 记为 D . 它的发散域 . 3. 函数项级数的和函数 为函数项级数的和函数. 称函数项级数的前 n 项之和为其部分和： 不论级数在点 处是否收敛, 均可写出其部分和. 如果级数在点 处收敛, 则有 4. 函数项级数敛散性判别 可以适当地运用常数项级数的敛散性 判别法, 判别函数项级数的敛散性. 特别注意比较判别法的应用. 并求其收敛域. 即原级数在整个实数域上是绝对收敛的. 所求收敛域为 解 例1 的敛散性, 并求其收敛域. 这是等比级数. 故该级数的收敛域为: