[理学]中财高数第二章高阶导数.ppt

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[理学]中财高数第二章高阶导数

导数与微分 四、基本求导法则与导数公式 第三节 高阶导数 一、高阶导数的定义 二、几个基本初等函数的n阶导数 三、小结 一、高阶导数的定义 1.逐阶求导法 例3. 设 例4. 例5. 设 例7. 设 例8 . 设 例11. 例12. 设 内容小结 思考与练习 思考与练习 2. (填空题) (1) 设 3. 试从 备用题 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 则 提示: 各项均含因子 ( x – 2 ) (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示: 则当 导出 解: 同样可求 (见 P103 题4 ) 作业 P103 1 (9) , (12) ; 3(2) ; 4 (2) ; 10 (2) , 11(2) * 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导,则 ( 1 ) v u v u ¢ ¢ = ¢ ) ( , ( 2 ) u c cu ¢ = ¢ ) ( ( 3 ) v u v u uv ¢ + ¢ = ¢ ) ( , ( 4 ) ) 0 ( ) ( 2 1 ¢ - ¢ = ¢ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例 解 例 解 解 例 (注意成立条件); 复合函数的求导法则 五、小结 反函数的求导法则 函数的和,差,积、商求导法则 记住基本初等函数的导数公式 问题:变速直线运动的加速度. 定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 例 解 由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法. 例 例 例 证明:函数 例 解 二、几个基本初等函数的n阶导数 则 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式 设 求 例1. 解: 例2. 设 二阶可导,求 的二阶导数. 解: 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 阶数 设 N 为正整数, 求 解: 依次类推 , 思考: 设 问 可得 2.归纳法 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例6. 设 求 求 解: 一般地 , 类似可证: 解: 3.间接法 ——利用已知的高阶导数公式 常用的已知函数高阶导数公式: 几个常用高阶导数公式 函数的n阶导数公式,使问题简化. 尽可能化为求某些熟知 (通过四则运算, 变量代换,恒等变形) 例9 . 设 求 解: 例10 . 设 求 解: 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 4.利用莱布尼兹公式 例 解 例 解 例 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形. 求 解: 即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 * *

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