[理学]二维随机变量6.ppt

第三章 随机向量 3.4 边缘分布 连续函数的卷积公式 离散函数的卷积公式 卷积公式的应用 最大值与最小值分布 一般情况 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 fX(x). 多维离散随机变量函数的分布 (1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 而 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量. X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布. 解： 所以 Z = X+ Y ? N(0, 2). 进一步的结论见后 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数. 解: 被积函数的非零区域为： 0x1 且 z?x0 用卷积公式： (见下图) x z 1 z = x 因此有 (1) z 0 时 fZ(z) = 0 ; (2) 0 z 1 时 fZ(z) = (3) 1 z 时 fZ(z) = 1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律. 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4 若记 Y = max (X1, X2, …… Xn), Z = min (X1, X2, …… Xn) 则 Y 的分布函数为: FY (y) = [FX(y)]n Y 的密度函数为: fY(y) = n[FX(y)]n?1 fX(y) Z 的分布函数为: FZ(z) = 1?[1? FX(z)]n Z 的密度函数为: fZ(z) = n[1? FX(z)]n?1 fX(z) (2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1, X2, ……, Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的相同的取值，合并其对应的概率. * * §3.1 二维随机变量 也称为n元随机向量。 (一)离散型 把(ξ，η)的所有可能取值与相应概率列成表，称为 (ξ，η)的联合概率分布表。 η ξ x1 x2 … xi … 定义3 如果二元随机变量(ξ，η)所有可能取的数对 为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的 数对，则称(ξ，η)为二元离散型随机变量。 也可用一系列等式来表示 P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…) 称为ξ与η的联合分布律。 联合分布有如下性质： (1) pij≥0 例1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取 1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。设“ξk=0”表 示第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2) 写出(ξ1, ξ2)的联合分布律。 解：试验结果由4个基本事件组成。 P(ξ1=0, ξ2=0) =P(ξ1=0)P(ξ2=0| ξ1=0) =0.1 P(ξ1=0, ξ2=1) =0.3 P(ξ1=1, ξ2=0) =0.3 P(ξ1=1, ξ2=1) =0.3 列成联合概率分布表： ξ2 ξ1 0 1 0 1 0.1 0.3 0.3 0.3 (二)连续型 它有性质： 对任意平面区域D, 解：P(ξ+ η1) 同样地 P( η ξ) 2 1 1 0 x y 2 1 1 0 x y 3.4.1边缘分布函数 若已知联合分布，则 P(ξ=xi) 记作 i=1,2,… P(η=yj) 记作 j=1,2,… 表示联合概率表中第i行各概率之和,称为x的 边缘概率密度。 它表示，不论η取何值，ξ取值xi的概率 的含义类似， 称为y的边缘概率密度。 边缘概率密度 例2 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个 邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写 出(ξ1， ξ2)的联合分布以及ξ1， ξ2的边缘分布。 解：试验共有42种不同的等可能结果。 p12=p21=p22=0 列成联合分布表： ξ1 ξ2 0 1 2 即边缘分布为 分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的 边缘分布函数。 求导可得相应的概率密度： 是关于ξ的边缘概率密度。 是关于η的边缘概率密度。 解：当axb时 在其它点 ＝0 解：当0≤x≤1时 =0 同理可求出 对于二元随机变量(ξ