[理学]信号与线性系统分析课件 9.ppt

第八章　系统的状态变量分析 第八章　系统的状态变量分析 一．输入－输出法（端口法） 三．状态变量分析法优点 例：如图电路 写为矩阵形式： 二、状态方程和输出方程 8.2 连续系统状态方程的建立 例 例 表示成矩阵形式为 8.4 连续时间系统状态方程的求解 一．用拉普拉斯变换法求解状态方程 三．用时域法求解状态方程 (二)用时域方法求解状态方程 第一种情况 第二种情况 8.6 系统的可控制性与可观测性 一．系统的可控性定义、判别法 二．系统的可观性定义、判别法 例 系统函数为 求状态方程与输出方程 解：[直接模拟法] F(s) 1 S-1 S-1 S-1 -6 -11 -6 4 Y(s) 1 ?1 ?3 ?2 选积分器的输出作状态变量，得 系统信号流图如右： [级联形式] F(s) S-1 1 S-1 S-1 -1 1 -3 1 4 1 Y(s) -2 1 ?1 ?3 ?2 故状态方程和输出方程为： [并联形式] F(s) S-1 -2 1 1 Y(s) -3 -2 S-1 S-1 1 1 1 -1 ?1 ?3 ?2 状态方程为： 输出方程为： 8.3 离散系统状态方程的建立与模拟 2、由系统方框图或流图建立状态方程与输出方程。 1、对离散系统，选取延时单元的输出作状态变量 D 延时单元的时域框图： 描述因果系统的差分方程为 写出其状态方程和输出方程。 解：由差分方程写出该系统的系统函数 画出其信号流图 以延时器的输出作为状态变量，分别为 这样即可写出状态方程与输出方程为： 时域方法……借助计算机 变换域方法……简单 由状态方程求系统函数 方程 ，起始条件 方程两边取拉氏变换 整理得 因而时域表示式为 可见，在计算过程中最关键的一步是求 。 若系统为零状态的，则 则系统的转移函数矩阵为 是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。 例：描述LTI系统的状态方程和输出方程为 伴随矩阵 行列式 二、系统函数矩阵H(s)与系统稳定性的判断 1．矩阵指数函数 的定义 (一)矩阵指数 式中 为 方阵, 也是一个 方阵 2.主要性质 1. 求状态方程和输出方程 若已知 并给定起始状态矢量 对式(1)两边左乘 ，移项有 (1) 化简，得 两边取积分，并考虑起始条件，有 对上式两边左乘 ，并考虑到　　　　　，可得 为方程的一般解 状态变量的零输入解和零状态响应解 可见其中eAt的求解至关重要，常将eAt称为状态转移矩阵，用φ(t)表示。 可得， φ(t)= eAt←→Φ(s)=(sI-A)-1 是一对拉普拉斯变换对。 矩阵卷积的定义 比较式 输出方程y(t) 依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和 对于 方阵A有如下特性： 凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）： 也即，对于 ，可利用 以下幂次的各项之和表示 ，式中 为各项系数。 (2) (3) 状态转移矩阵 式中各系数 α都是时间t 的函数，为书写简便省略了变量t。 按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数α ，最后解出 。 具体计算步骤： 求矩阵A的特征值； 将各特征值分别代入式（3），求系数α。 A的特征值各不相同，分别为 ，代入式 (3)有 (4) 若A的特征根 具有m阶重根，则重根部分方程为 其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。 (5) * 信号与系统 扬州大学物理科学与技术学院 陈磊 * 研究单输入－单输出系统； 着眼于系统的外部特性； 基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性概念。 产生于20世纪50至60年代； 卡尔曼(R.E.Kalman)引入； 利用状态变量描述系统的内部特性； 运用于多输入－多输出系统； 用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统 。 二．状态变量分析法 (1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)便于分析多输入－多输出系统； (3) 一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统； (5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 微分方程（输入－输出描述法）： 其中 8.1 状态变量与状态方程 写为 只要知道 的初始状态及输入 即可完全确定电路的全部行为。 输出方程 此方法称为状态变量分析法或状