[理学]北科高数上册第一章答案.doc

习题 1-1 (A) 1．填空题． (1)函数的定义域为; (2)函数的定义域为; (3)函数的定义域为; (4)函数的定义域为x-3; (5)函数的周期为. 2．设，求及． 解： 则 3．设求 解： 4．将函数用分段形式表示，并作出函数图形． 解： 5．判断下列函数的奇偶性． (1) ; 解：，则为偶函数． (2) ; 解：，则为奇函数． (3) ; 解：，则为偶函数． 6．设,且当x=1时, ,求． 解：当x=1时， 则：． 7．求下列函数的反函数． (1) ; 解： 则反函数为： (2) ; 解： 则反函数为： (3) ; 解：时，，则反函数为： () 时，，则反函数为： 时，，则反函数为： 则其反函数为： 8．证明：函数在内有界的充分必要条件是在内既有上界，又有下界． 证明：首先来看必要性 设在内有界，且n m m，则有上界m；n ，则有下界n； 再来看充分性 设上界和下界分别是m和n，取 n m ，则，有界。 9．某厂生产某产品1200t，每吨定价100元，销售量在900t以内时，按原价出售；超过900t时，超过的部分打8折出售，试将销售总收入与总销售量的函数关系用数学表达式表示． 解：依题意，设总销售量为x吨，销售总收入为y元 10．在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高h的函数，并确定此函数的定义域． 解：设圆柱底面半径为R 由几何关系得： 即 圆柱体积为： () (B) 12．填空题． (1)对一切实数x，有，则是周期为1的周期函数； (2)函数的定义域为； (3)已知，，则的定义域为． 13．计算题． (1)已知，，且，求，并写出它的定义域； 解：，则 定义域为：，即． (2)设，令，求； 解： 则：． (3)设，，并讨论的奇偶性和有界性； 解： 以此类推： ，为奇函数 当x=0时， 当时，，则 有界． (4)设试将表示成分段函数； 解：． (5)求的反函数． 解： 则反函数： 14．证明题． (1)若周期函数的周期为T且，则得的周期为； 证明：由已知： 则： 得证． (2)若函数满足 则为奇函数. 证明： (1) 则， (2) (1)+ (2)得： 由，则 即为奇函数． 习题1-2 (A) 1．观察下列一般项为的数列的变化趋势，判断它们是否有极限？若存在极限，则写出它们的极限． (1) ；有极限，极限为1； (2) ；有极限，极限为1； (3) ；有极限，极限为0； (4) ；有极限，极限为1； (5) ；无极限； (6) ；无极限． 2．利用数列极限的定义证明． (1) ； 证明： ． (2) ； 证明： ． (3) ； 证明： ． (4) ； 证明： ． 3．证明：若，则，并举例说明：数列有极限，但数列未必有极限． 证明：由及数列极限定义，对，存在正整数N，当nN时， 有，则：． 故． 举例：数列的极限为1， 而数列 无极限． 5．设，，证明：． 证明：由极限定义可知， ， 取 则当nN时，，则 7．求极限 解：由于 由夹逼准则可得． 8．设，证明：数列的极限存在，并求其极限． 证明：显然 10．求下列极限． (1) ； 解：． (2) ； 解：． (3) ； 解：． (4) ； 解：． (5) ； 解：． (6) ； 解：． 12．设数列收敛，证明：中必有最大项或最小项． 证明：由数列收敛，则此数列有界，即 则中必有最大项或最小项． 13．设，且ab，证明：存在某正整数N，使得当nN时，有． 证明：由，存在某正整数N，使得当nN时， 对，有 取为无穷小，则． 16．设证明：数列收敛，并求其极限． 证明：显然 17．设，证明：数列发散． 证明：数列有两个子数列： =0， ， 而，数列发散 数列发散． 习题1.3（P47） 答案：D 解：例：在处没有定义但是有极限。 设 作出函数的图形 根据函数图形写出; 极限存在么？ 解： （1）略 （2） （3）因为，所以极限不存在 解：当时，函数的极限不存在。 （不论它多么大），，使得当时， 有，故它的极限不存在。 解： 解： （1）当时，无穷小 （2），当时，无穷大 （3），当时，无穷大 （4），当时，极限为0，无穷小 （5），当时，极限为0，无穷小 设 解： 因为存在，则，则， 解：（1） （2） 证：因为，则，，使得当时，有，则 则 解： （1），，使得当时， 有,故 （2），，使得当时， 有, 故 （3），，使得当时，有 故 （4），，使得当时，有 ，故 （5），，使得当时，有 ，故 （6），，使得当时，有 ，故