[理学]华农线性代数齐次线性方程组.ppt

* ●矩阵的秩的概念 定义2.6 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 A 为 mχn 矩阵，则 R(A)≤ min (m,n)。 特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩 阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。 定义2.8 向量组的极大无关组 如果向量组 的部分组 满足 （1） 线性无关；（2）任意增加一个向量 （如果存在的话），向量组 线性相关。 则称向量组 为向量组 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。 一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。 向量组的秩 向量组 的极大无关组中所含向量的个数， 称为向量组的秩。记作 如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性相关。 如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性无关。 定理2.8 矩阵A的秩 = 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩 可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量 组的秩及极大无关组。 ●求向量组的极大无关组的解 重要结论—— 若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则 A 的 行向量组与 B 的行向量组等价，而 A 的任意 K 个列向量与 B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性； 若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B ，则 A 的 列向量组与 B 的列向量组等价，而 A 的任意 K 个行向量与 B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。 无关 无关 相关 相关 例4 求下列向量组的一个极大无关组 解法2：构造矩阵 因为 （记作 B） 而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的， 故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的， 所以 是一极大无关组。 由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性 ●线性方程组的一般形式 （1） 记 则有矩阵形式 （1） 则方程组有向量形式 ●线性方程组的向量形式 记 ●线性方程组的一般形式 （1） 当 时，称方程组（1）为齐次线性方程组；当 ，称方程组（1）为非齐次线性方程组。 为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？ 有无穷多解时，求解方程组。 解 方程组的系数行列式为 （1）当 且 时，方程组有唯一解 注意 (1)求解线性方程组时,将系数矩阵经过初等行变换化为行最简 (2)用矩阵方法求解线性方程组时,只能用行变换,不能用列变换 (为什么?) ●齐次线性方程组的解的性质 解向量：方程组的解构成向量 称为解向量。 结论：齐次线性方程组的解的任意线性组合还是该方程组的解。 1、如果 是齐次线性方程组的解，则 也是 方程组的解。 2、如果 是齐次线性方程组的解，则 也是方程组的解。 ●基础解系的概念 如果齐次线性方程组 的解向量组 线性无关，方程组的任意解可由该向量组线性表示，则该组解向 量称为方程组的一个基础解系。 注：基础解系是不惟一的。 ●齐次线性方程组的解的结构 定理 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩