[理学]双学位--多项式.ppt

厦门大学数学科学学院 gdjpkc.xmu.edu.cn 第五章 多项式Polynomial 概述_1 代数角度 代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式 函数角度 根及其性质，余数定理 二者关联 两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等 概述_2 与数域扩大无关的多项式性质 整除、最大公因式、互素、余数定理等 与数域扩大有关的多项式性质 不可约、因式分解、根理论等 §5.1 目的与要求 掌握一元多项式形式的准确描述; 理解K[x]对于多项式的加法, 数乘, 乘法构成K-代数; 掌握用多项式的次数来解题的方法. 数域_1 定义 若集合K中任意两个数作某一运算后的结果仍然在K中，则称K关于这个运算封闭。 定义 复数集C的子集K称为数域，若其满足下列条件: 包含0, 1 该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭 数域_例 例1. 有理数域Q; 实数域R; 复数域C. 例2. 自然数集N; 整数集Z. 例3. 数域_2 命题 任一数域必包含有理数域Q. 命题 R和C之间不存在任何其他数域. 一元多项式_1 定义 K:数域, ai∈K, 0≤i≤n; n≥0, x: 不定元, 形如 称为K上x的一元多项式. 例1 判断以下是否多项式? K上一元多项式全体记为K[x] 一元多项式_2 定义 aixi: 称为第i 次项, ai: 第i 次项系数. 当an ≠0时, f(x)称为n 次多项式, 次数记为deg f (x). anxn:首项, an:首项系数, a0:常数项. an=1:首一多项式 注1 常数多项式: f (x)=a0 ≠0 (零次多项式) f (x)=a0 ≠0 ? deg f(x)=0 ? ai=0, i 0 f (x)=0 (零多项式), 此时规定: deg f (x)= – ∞ f (x)=0 ? deg f(x)= – ∞ 注2 f (x)≠0 ? deg f(x)≥0 多项式的相等 定义 两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等 即若 则f (x) = g(x)当且仅当m = n, ai = bi , 0≤i≤n. 多项式的运算_加法1 设f (x), g (x)∈ K[x], 适当增加几个系数为0的项, 可设 定义加法: 则 f (x) + g (x)∈K[x]. 多项式的运算_加法2 性质 (1) ( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ) (2) f (x) + g(x) = g(x) + f (x) (3) 0 + f (x) = f (x) (4) f (x) + (– f (x) ) = 0 多项式的运算_数乘1 设 定义c与f(x)的数乘为: 则 cf (x)∈K[x]. 多项式的运算_数乘2 性质 (5) (6) (7) (8) 多项式的运算_乘法1 设 定义f (x) 与g(x)的乘积: f (x) g(x) = h(x) 其中 多项式的运算_乘法2 性质: (9) ( f (x) g(x))h(x) = f (x) (g(x) h(x)) (10) f (x) g(x) = g(x) f (x) (11) (f (x)+g(x)) h(x) = f (x) h(x)+ g(x) h(x) (12) c ( f (x) g(x))=(c f (x)) g(x) = f (x) (c g(x)) (13) 1·f (x) = f (x). 多项式的次数 引理 deg ( f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x) , deg g(x)} deg f (x) = deg cf (x) , 0 ≠ c∈K deg (f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) 注 deg (f (x)g(x))=0 ? deg f (x) = 0 且 deg g(x) = 0 多项式的消