[理学]同济大学微积分第三版课件第三章第十一节.ppt

* 第十一节 反常积分 本节要点 本节讨论两种重要的积分形式 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 一、无穷限的反常积分 在定积分的定义中, 要求积分区间为有限区间. 但在 许多实际问题中, 所涉及到的积分区间为无穷区间. 例 如在前面的作功问题中, 如果考虑将点电荷移到无穷远 处, 则电场所作的功即牵涉到一个无穷区间上的积分, 即 为反常积分 这里计算功 的问题即是函数 在无穷区间 定义 设函数 如果极限 存在, 则称反常积分 收敛, 并把此极限称 上的积分问题. 由此我们引入 的值, 即有 ⑴ 若极限不存在, 则称反常积分 类似, 对 用记号 表示 在区间 上的反常积分. 即若极限 发散. 存在, 则称反常积分 收敛, 此时并有 ⑵ 若极限不存在, 则称反常积分 发散. 对 记号 在区间 上的反常积分. 如果反常积分 表示函数 都收敛, 则称反常积分 收敛, 且定义其值 ⑶ 否则称反常积分 是发散的. 以上这三类积分都称为无穷限的反常积分. 为 例1 计算反常积分 解 由⑴ 得 注 若 存在原函数 则反常积分仍记为 其中 应理解为极限 例2 计算积分 解 因函数 的原函数为 所以积分为 例3 计算积分 解 由分部积分公式 更一般地有: 例4 计算积分 解 由分部积分公式 例5 讨论反常积分 解 当 时, 当 时, 当 时, 的收敛性. 由此可得: 积分 发散 发散 反常积分收敛的几何意义是: 当 时, 尽管 曲线向 轴的正向无限延伸, 但曲线与 轴围成的面积 为有限值. 解 例6 求正数 使得 从而 事实上 解 取坐标系如图, 轴铅直向上, 例7 自地面铅直向上发射火箭, 试问初速度达到多大时, 火箭才能脱离地球的引力范围. 取 为积分变量, 原点在地球中心， 设地球半径为 质量为 火箭的质量为 这就是作功元素 在 上任取一小区间 当火箭由 上升到 时, 所受到的地球引力近似于 克服引力所作的功近似为 要使得火箭脱离地球的引力范围, 就是将火箭发射到 无穷远处, 那么克服地球引力所需要作的功为 要使得火箭脱离地球的引力范围, 发射时的动能 即 由于火箭在地面时, 火箭与地球引力 等于火箭重量 故 所以引力常数为 从而 要使火箭飞离地球引力范围, 发射速度 至少为11.2km/s, 这个速度称为第二宇宙 速度. 二、无界函数的反常积分 定义 设函数 且在点 的右邻域内无界, 如 存在, 则称反常积分 收敛, 并把该极限值称 ⑷ 果极限 为反常积分的值, 即 否则就称反常积分 是发散的. 类似可定义在区间 上连续的无界函数的反常积 ⑸ 进一步地, 若函数 且在两个端点均无 界, 若对 极限 分 均存在, 称反常积分 收敛, 并记 最后, 若 且在点 处无界 ⑹ 否则称反常积分 发散. 若反常积分 均收敛, 则称反常积分 收敛, 并记 ⑺ 否则称