[理学]同济大学高数课件ch1_4.ppt

例7 求极限 解 因为 所以 时的极限为 对上面几个例子的分析, 得到有理函数 当 * 第四节 极限的运算法则 本节通过无穷小的运算性质来讨论函数极限的运算法 本节要点 一、无穷小与无穷大 二、极限的运算法则 则，数列极限的运算法则可以平行地得到．主要内容 一、无穷小与无穷大 1．无穷小 　注 无穷小是一个以0为极限的变量，而不能把它视 　定义 如果 时函数 的极限为零, 为一个很小的常量. 那么 就叫做 时的无穷小. 例如, 因为 因此我们说函数 是 时的无穷小，而不能简单地说 是无穷小. 同样由于 所以 是 时的无穷小. 定理1 引理 在自变量的同一变化过程中, 函数 有极限 A 的充分必要条件是 ，其中 是无穷小. 证 ⑴设 是 的无穷小, 今证 是无穷 ⑵有界函数与无穷小之积是无穷小. 小. ⑴有限多个无穷小之和是无穷小; 因 故对任意 存在 当 有 所以 有 ； 有 同理存在 当 当 时，有 取 存在 当 有 又 是 的无穷小, 所以对任意 ⑵设 是有界量，故 当 时， 取 ，当 时，有 ? 推论 ⑴常数与无穷小之积是无穷小； 即 ⑵有限多个无穷小之积是无穷小． 例1 求极限 下图是函数的图形，从图中可以看出，当 时， 对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0. 解 因 故由定理1得 又 2．无穷大 （或 ）. 　定义 如果对任意给定的正数 M，总存在正数 (或 ) 时, 对应的函数值 满足不等式 则称 为 时的无穷大, 正数 X ) , 使得对定义域中的满足 (或 记为 值得注意的是，记号 并不是表示极限 存在, 注 函数 当 为 而是表示当 时， 函数有一个比较明确的变化趋势. 无穷大的几何意义如图所示. 例2 证明 即 故取 ，当 时, 有 证 对任意的 要使 即 ? 注意，无穷大相应的归并性依然成立. 即 的任一数列, ，且 则必有 设 , 如果 是函数 定义域中 解 取 则 所以 是无界函数但不是无穷大. 但不是无穷大. 例3 试说明函数 当 是无界函数 3．无穷小与无穷大的关系 证 仅证⑴. 定理 在自变量同一过程中， 设 ， 则任取 ，令 ，由无穷 ⑴若 是无穷大，则 是无穷小; 大的定义，存在 当 时，有 ⑵若 是无穷小，且 ，则 是无穷大. 即 ? 所以 是无穷小. 二、极限的运算法则 定理2 设 ⑴ ⑵ 为了便于表述, 我们用记号 表示函数 在 x 的某个变化过程中(如 或 或 等)的极限