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[理学]向量与向量空间
第三、四章 知识结构与要点 向量与向量空间 n 维向量及其线性运算 向量空间 向 量 组 向量的内积、标准正交基 一、基本概念及公式 1、向量组: 线性组合; 线性相关、线性无关;向量组等价; 最大线性无关组; 向量组的秩 等. 2、向量空间: 基; 维数; 基变换与坐标变换; 3、矩阵: 过渡矩阵、正交矩阵 4、内积: 向量的内积 二、基本结论、性质 1、向量运算: 向量的各种运算的运算公式;运算律. 2、向量组: 线性相关与线性无关;线性表示;最大线性无关组与秩; 3、向量空间: 坐标变换 三、基本题型 基本运算: 求向量组的秩与最大无关组; 求向量空间的维数及基; 坐标变换与线性表示; 利用施密特正交化方法化为标准正交基 基本证明: 向量组的线性相关性; 向量组的等价等. 习题 ⑴ n 维向量: 加、减法运算 数与向量的乘法 ⑵ 向量线性运算及性质 线性运算的性质(共8条略) n个数a1,a2,…an所组成的有序数组。 向量 n维向量的概念及运算性质 则说向量 的线性组合,或者 说向量 线性表示. 注 10 定义中的一组数k1,k2,…,km只要存在即可 不一定唯一。 20 零向量可由任何向量组线性表示。 线性表示 向量组 线性相关、线性无关 注 所谓向量组 线性无关,是指若k1,k2,…,km使 成立,则必有 1. 线性相关与线性无关的判定 (1) (2) 若向量组的某一部分组线性相关,则这个向量组 一定线性相关. (3) (4) (5) 向量组等价 定义 若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价。 注 等价必等秩,但等秩未必等价。 设向量组B能由向量组 A线性表示,且它们的秩相等, 则向量组A与向量组B等价。 特别 若A是B的子组,且R(A)= R(B),则A组与B组等价。 设A是n维向量组,在A中选取r个向量?1,?2,…,?r,如果满足 (1)?1,?2,…,?r线性无关; (2)任取? ,总有?1,?2,…,?r,? 线性相关. 则称向量组?1,?2,…,?r为向量组的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组). 最大无关组 向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。 注 若向量组A的秩为r,则向量组A的任意含有r个线性无 关向量的部分组,均为A的一个最大无关组。 (1)如果向量组A:?1,?2,…,?s可由向量组 B: ?1,?2,…,?t 线性表示,且A 线性无关.则 (2) 若向量组A :?1,?2,…,?S 和B : ?1,?2,…,?t 都线性无关,且向量组A和向量组B等价,则s =t. (3) (4)矩阵A的秩等于A的列向量组的秩,也等于A的行向 量组的秩. 三秩合一 2.向量组秩的有关命题 (5) 若向量组A的秩为r,则向量组A的任意含有r个线性无 关向量的部分组,均为A的一个最大无关组。 (1)若对矩阵A只施行初等行(列)变换,得到矩阵B,则 (Ⅰ)矩阵A与矩阵B的行(列)向量组等价; (Ⅱ)矩阵A与矩阵B的列(行)向量组有相同的线性相关性. (2) 若对矩阵A实行初等行变换,将A化为行阶梯矩阵,则A的列向量组的最大无关组所在的列即为此行阶梯矩阵的列向量组的最大无关组所在的列。 3、等价矩阵的行(列)向量组的关系 设V是n维向量构成的非空集合, 如果满足:(1)?若??V,? ?V,则?+? ?V; (2)若? ?V,k ?R,则k??V, 则称集合V为向量空间. 设V为向量空间,若r个向量?1,?2,…,?r ?V,且满足 (1)?1,?2,…,? r 线性无关; (2)V中任一向量都可由?1,?2,…,? r线性表示, 那么,向量组?1,?2,…,? r就称为V的一个基, r 称为向量空间V 的维数,并称V为r 维向量空间. 向量空间的基与维数 向量空间 坐标变换 记 基变换公式: 设V中向量? 在基?1,?2, ? ,?n 下的坐标是(x1,x2,
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