[理学]在职工程硕士GCT 数学 线性代数四 线性方程组.ppt

* * 第4章 线性方程组 一、线性方程组的基本概念 ★二、线性方程组解的情况判定定理 三、线性方程组解的结构 四、线性方程组的向量形式 元线性方程组： 未知量， 未知量的系数， 常数项 ● 线性方程组的分类（据常数项） 线性方程组 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 ● 一、线性方程组的基本概念 ● 线性方程组可用矩阵形式表示 1、非齐次线性方程组： 方程的个数 未知量的个数 （ ） 2、齐次线性方程组： 系数矩阵 未知量矩阵 常数矩阵 ● 增广矩阵 即 ● 关于线性方程组的三个基本问题： ① 方程组在什么情况下有解？ （有解的条件） ② 如果有解，有多少个解？ （解的个数） ③ 如果有解，怎样求出它的全部解？ （求解） 二、线性方程组解的情况判定定理 定理1 有解 定理2 有解时， ① 有惟一解 未知量的个数 ② 有无穷多解 ★★ ● 的解共有三种情况。 ★特别： 若 是 阶方阵，则 有惟一解 则 可能无解，也可能有无穷多解. ◆ 若 例 设 ， 则当 （P56 第8题） （07年） 解 A. B. C. D. （ ）时， 方程组 无解。 D 由题知 故 线性方程组 ，当（ ）. 时无解 补 A. B. C. D. D （2010年） 时无解 时有无穷多解 时有无穷多解 解 时有惟一解 。 时有无穷多解 。 当 当 选 D. 若方程组 有解， 则其中 （ ）. 补 A A. B. C. D. （2011年） 解 由题知， 已知线性方程组 有惟一解， 则（ ）. 补 A. B. C. D. 且 D 解 这是一个特殊的非齐次线性方程组 由题知， 即 解之 得 定理3 齐次线性方程组 总有解。 零解： 非零解： 其它的解 有非零解 只有零解 ★ 特别： 若 是 阶方阵，则 有非零解 只有零解 未知量的个数 特殊的齐次线性方程组 （ ） ● 有非零解 有无穷多解 这两种说法等价。 ● 只有零解 有唯一解 这两种说法等价。 例 设 为 的非零矩阵，方程组： （P55 第2题） （03年） A. B. C. D. 只有零解的充分必要条件是（ ）. 的列向量组线性无关 的行向量组线性无关 的行向量组线性相关 的列向量组线性相关 解 只有零解 由定理知 的列秩 故 的列向量组线性无关。 而 共有 列 A 补 设 是 矩阵， 是 矩阵，则下列结论 A. B. C. D. 正确的是（ ）. 必有非零解 A 只有零解 必有非零解 只有零解 解 由题知 为4阶矩阵， 为3阶矩阵。 必有非零解。 例 若线性方程组 有无穷多解， ★★（P55 第3题） （08年） A. B. C. D. 则 （ ）. 1或4 1或-4 -1或4 -1或-4 解 C 这是一个特殊的齐次线性方程组 由题知， 即 解之 得 若齐次线性方程组 有非零解， 则（ ）. ★ 补 A. B. C. D. 且 C 解 这是一个特殊的齐次线性方程组 由题知， 或 （不用计算！） 排除A ,B, D 选C. 三、线性方程组解的结构 在方程组有无穷多解的情况下， ● 解的结构： 解与解之间的关系问题。 （如何求无穷多解） 1、齐次线性方程组解的结构 ★ a.