[理学]复变函数ppt第二章.ppt

第二章 解析函数 §2.1 解析函数的概念 1 复变函数的导数 定义： 存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作 应该注意：上述定义中 的方式是任意的。 容易证明： 可导 可微 ； 可导 连续。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 例1 求 f (z) = z2 的导数。 [解] 因为 所以 f (z) = 2z . 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。 （即f (z) = z2 在复平面处处可导。） 例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导? [解] 这里 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在. （即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.） 例3 讨论 的可导性。 解： 所以 在复平面上除原点外处处不可导。 2. 解析函数的概念 函数在一点解析 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析； f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。 定义 否则称为奇点 。 例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性. 解： 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析； z = 0 是它的一个奇点。 解析函数的性质： (1)??? 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2)??? 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3)??? 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所 有解析点的集合必为开集。 问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判别其解析（可导）性？ 换句话说： 设函数 于是 u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微, 于是 （?x,?y?0时,ek?0, (k=1,2,3,4)） 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导. 由 z 的任意性可知： 定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程. 定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程 。 推论 ： 例题1 解： 例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析: 解： 得 u=x, v=-y, 所以 在复平面内处处不可导, 处处不解析； 2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以 当且仅当 x = y = 0时, 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不解析. 是区域内的正交 曲线族。 (正交：两曲线在交点处的切线垂直 ) 例题3 证： 得证。 解析函数退化为常数的几个充分条件： (a)??? 函数在区域内解析且导数恒为零； (b)??解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)??? 解析函数的共轭在区域内解析。 例如 两族分别以直线y=?x和坐标轴 为渐近线的等轴双曲线 x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。 1 -1 -1 -10 -8 -6 -4 -2 x 2 4 6 8 v=10 1 y -10 -8 -6 -4 -2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 -10 -10 §2.2 解析函数和调和函数的关系 定义1 (称为调和方程或Laplace方程) 定理1： 证明： 且u, v有任意阶连续偏导数 同样可得 注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, 不一定是解析函数 . 定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程， 则称v为u的共轭调和函数 . 定理2： 在区域D内解析 v为u的共轭调和函数 . 解析函数的虚部为实部的共轭调和数 例如： 是解析函数， 不是解析函数。 已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。 例题1 已知一调和函数 求一解析函数 解： 由 C-R 方程 于是 （法一） 从而 即为所求解析函数。 （法二） (0,0) (x,y) (x,0) （法三） §