[理学]复变函数的极限和连续.ppt

数学物理方法 第一章 五、复变函数的极限和连续 思考： 作业：试推导极坐标系中的C-R条件 1.曲线积分法 全微分的积分与路径无关，故可以选取特殊积分路径，使积分容易算出2. 凑全微分显示法 把du的等式右边凑成全微分显示3. 不定积分法 本章小结： * (一)复变函数的极限 1.定义 是以任意方式 设函数 在 点的某邻域内有定义，若对于任意给定的 ，总存在有 ，使得当 时，就有 ， 则称 当 时以 为极限,并记为： 2.性质 (二)复变函数的连续 1. 函数在某点连续的定义 设 在 点及其邻域内有定义，并且当 时，有： 则称函数 在 点连续 连续函数： 在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数 注意：连续的定义比实变函数要求更严格 1.3 导数 一、导数 1.导数的定义：设函数 是在区域B中定义的单值函数，对B内某一点 ，若极限 存在，并且与 的方式无关，则称 在 可导，并称这个极限值为 在 点的导数，记作： 例1：设 解: 例2：试证明 证明： 而 所以，该函数在复平面上不可导 2.微分的定义 微分: （ 或者 ） 称之为函数的微分 3.导数和微分的法则和公式 实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同，因此实变函数所有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数 常用公式： 二、柯西——黎曼条件（C-R条件） 要解决的问题：给定一函数 如何判断 在点 是否可导？ 　在点 可导的必要条件是 存在，且满足C-R条件： 导数存在的必要条件： 证明：由导数的定义知， 以任何方式趋于零时，极限 存在，且有相同的极限值，即 与 的方式无关，使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形 设 2. 沿平行于y轴的方向趋于零， 沿平行于X轴的方向趋于零， 因为在 可导，因此 所以： 柯西-黎曼条件(C-R条件) 说明：A: C-R条件的有限性 B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互 紧密联系的。 三、导数存在的充分必要条件 在B内点z可导的充要条件是： 函数 的偏导数 存在且连续，并且满足C-R条件。 证明（板书）： 2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析； 3.若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。 1.点解析 解析； 二、函数解析的充要条件 函数 在区域 （或者点 ）解析的充要条件 说明： 由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数(这一类函数在物理学中有广泛的应用) 解析函数的实部和虚部通过C-R条件互相联系，并不独立 三、解析函数的性质 1.正交性( ) 若函数 证明： 梯度 由C-R条件 所以 1.调和性 若函数 四、解析函数的求解 由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。 1.证明： 2.方法 例1 已知解析函数的实部 ，求虚部和这个解析函数 解： 方法一： 所以 （C为常数） （C为常数） （C为常数） 方法二： 解： 所以 方法三： 将上面第二式对y积分，x视作参数，有 其中 为x的任意函数，将上式两边再对x求导 由C-R条件得： , （常数） 所以 例2 2.已知解析函数的虚部 ，求实部 和这个解析函数 方法三提示： *