[理学]复变函数课件2-3.ppt

第三节 初等多值函数 定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数 2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域 设有幂函数: W=zn 令z=rei?,?w=?ei? ,则： W=zn?? ?ei? = rnein???= rn, ? =n? 于是得到幂函数有如下的变换性质： 2.3.1根式函数 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为： 2.3.2 对数函数 2.3.3 一般幂函数与一般指函数 2.3.4 反三角函数和反双曲函数 2.3.5 小结与思考 * 2.3.1 根式函数 2.3.2 对数函数 2.3.3 一般幂函数与一般指数函数 2.3.4 具有多个有限支点的情形 2.3.5 反三角函数和反双曲函数 2.3.5 小结与思考 z平面 w平面 射线? =?0 射线? =n?0 圆周r=r0 圆周?= r0n x o z y u o w v W=zn z平面 w平面 射线? =?0 射线? =n?0 圆周r=r0 圆周?= r0n ?0 n?0 角域0??0 射线0? n?0 ) ) x o z y ) 从原点起沿负实轴剪开的w平面 G0 z平面 w平面 W=zn 角域 0??0 射线0? n?0 u o w v x o z y 上岸 下岸 映射特点: 幂函数w=zn (n1) 单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2?/n的角形区域 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍. 是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之： 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 i.e. 根式函数 为幂函数z=wn 的反函数. (1) 根式函数的多值性. (2) 分出根式函数的单值解析分支. 1) 产生多值的原因. 产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2?的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值 2) 解决的办法. 限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量??argz2? 理论上的的做法： 从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，?argz2?，从而可将其转化为单值函数来研究 常用的做法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破： z x o z y G 结论： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数: 分成如下的n个单值函数： 定义域为 wk在Gk上解析,且 x o z y G1 3? x o z y G0 -? -? T0 T1 T2 ? ? u w v o x o z y G2 3? 5? ? 1. 定义 说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz 2.计算公式及多值性说明： 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数 规定： 为对数函数Lnz的主值 于是： 特殊地, 例4 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 例5 解 例6 解 2. 性质 (3)??(4)错了 例： 荒谬透顶！！！ 决不会相等！！！ 原因 Bernoulli悖论 Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加 A={0,1} A+A={0,1,2} 2A={0,2} A+A?2A 证 (3) [证毕] 3. 分出w=Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将 对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支： 定义域为 wk在Gk上解析,且 1. 一般幂函数 称为z的一般幂数函数 2. 一般指数函数 称为z的一般指数函数 都是多值函数，适当割破z平面，都可转化为单值函数 1. 一般幂函数 注意: 特殊情况: 例7 解 答案 课堂练习 例8 解 2. 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,