[理学]多元函数积分复习高数A2总复习.ppt

极坐标系情形: 若积分区域为 计算步骤及注意事项 对弧长的曲线积分的计算 对面积的曲面积分的计算 注意 以上是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式 概括为： 代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 一代、二投、三定号 * 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 多元函数积分学 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算 基本思想： 二重积分化为累次积分 直角坐标系情形 : 若积分区域为X型区域，即 则 若积分区域为Y型区域，即 则 则 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 ①画域，②选序，③定限 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分 一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三重积分的计算 基本思想： 三重积分化为三次积分 三、利用球面坐标计算三重积分 一、利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 二. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 三. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 注意 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 变量可分离. 围成 ; 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 基本思路: 计算参变量的定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 注意: 特殊情形 （3）如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 一代、二换、三定限 代：将积分曲线的参数方程代入被积函数， 换：换弧微元 定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数 对坐标的曲线积分的计算 定理 一代、二换、三定限 曲线积分化成参变量的定积分 代 将 L 的参数方程代入被积函数 换 定限 下限——起点参数值 上限——终点参数值 特殊情形 （3）对空间光滑曲线弧 ? : 类似有 4. 两类曲线积分的联系 曲线积分与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 按照曲面的不同情况分为以下三种： 如果?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为 ? 那么 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 如果?由方程 给出? ?在yOz面上的投影区域为 ? 那么 如果?由方程 给出? ?在zOx面上的投影区域为 ? 那么 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域 注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 利用可加性，分块计算，结果相加; （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式; （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数; （4）切记任何时候都要换面积元； （5）若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y