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[理学]好已看线性代数_第五章_二次型
Augustin Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France Carl Gustav Jacob Jacobi Born: 10 Dec 1804 in Potsdam, Prussia (now Germany) Died: 18 Feb 1851 in Berlin, Germany Johann Carl Friedrich Gauss Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb 1855 in G?ttingen, Hanover (now Germany) 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 ? §5.3 正定二次型 一. 惯性定理(Inertia Law) 定理5.3. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量. f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数 ? (positive index of inertia) (negative index of inertia) ? 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形: f = 3y12 ? (3+ )y22+ ( ? 3)y32 1 2 17 17 1 2 f = 2z12 – 2z22 +6z32 可见秩(f) = 3, f的正惯性指数p = 2, f的负惯性 指数q = 1. ? 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 推论a. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 且规范形(normalized form)是唯一的. 推论b. 设n实阶对称矩阵A的秩为r, 则存在可 逆阵P, 使 PTAP = Ep ?Eq O , 其中p+q = r. ? 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 二. 二次型的正定性 1. 定义: f(x) = xTAx x ? 0 ? f(x) 0 实二次型 f(x), A正定 x ? 0 ? f(x) 0 f(x), A负定 2. 性质 (1) An, Bn正定? An + Bn正定矩阵. (3) A正定, P可逆? PTAP正定. (2) diag{d1, …, dn}正定??i, di 0. (positive definite) (negative definite) ? 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 3. 判定 定理5.4. 设A为n阶实对称矩阵, 则以下等价: …, ?2 = a11 a12 a21 a22 , ?1 = a11, 均大于零. ?n = |A| (1) A是正定矩阵; (2) A的正惯性指数为n; (3) A的特征值均大于零; (4) A与E合同; (5) 存在可逆矩阵P, 使得A = PTP; (6) A的各阶顺序主子式(principal minors) 例9. 判定二次型f??5x2?6y2?4z2?4xy?4xz的 正定性? f 的矩阵为 解: 因为主子式 a11??5?0? 根据定理3(霍尔维茨定理)知 f 为负定? §5.3 正定二次型 ? 第五章 二次型 例10. 判别二次型 f?x2?2y2?6z2?2xy?2xz?6xz 的正定性? f 的矩阵为 解: 因为主子式 a11?1?0? 根据定理3(霍尔维茨定理)知 f 为正定? §5.3 正定二次型 ? 第五章 二次型 ? 第五章 二次型 §5.3 正定二次型 例11. AT = A, A2 ? 3A + 2E = O ?A正定. 例12. A正定
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