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[理学]实变函数论课件22讲
第22讲 Fubini定理(续) 目的:掌握乘积测度的概念,熟练掌握Fubini定理并会运用,了解Fubini定理的证明。 重点与难点:Fubini定理及其证明。 第22讲 Fubini定理(续) 基本内容: 一.可测函数的截口 问题1:微积分中累次积分的内层积分 是什么意思? 第22讲 Fubini定理(续) 二.Fubini定理的特殊形式 第22讲 Fubini定理(续) 问题3:Fubini定理的特殊形式能给 什么样的函数证明Fubini定 理?如何过渡到一般的可 测函数? 作业:P168 22 第22讲 Fubini定理(续) 最后证 (iii),由于 是 域,由 f 的 -可测性不难证明 均是 可测的。又因为 在 中可积,故 也可积,将 (i) 依次应用于 立知 均是 上的可积函数, 均是 上的可积函数。 第22讲 Fubini定理(续) 因为 ,故对使得 且 的每个 是 中的可积函数,但由 的可积性知 记 ,则 ,且对任意 , 从而 在 上可积, 同理可证对几乎所有的 是 上的可积函数,在等式 (b) 中,用 代替 代替 f,等式仍成立,同理用 代替 代替 f,(b)也成立,将所得的两等式相减立得 ,类似可得 。证毕。 第22讲 Fubini定理(续) 第22讲 Fubini定理(续) 注:虽然Fubini定理中加上了“ f 是 -可测函数”的条件,但这一条件可以换成“ f是 上的可测函数”。这是因为,若 f 是 上的可测函数,则对任意 , 是可测集,由本章§ 3定理2知存在 ,使 ,且 。 我们知道,去掉一个零测集并不影响函数的积分,所以只需在定理7的 (i) 中,将等式 (a) 改成对几乎所有的 及几乎所有的 , , 则所有的结论仍然正确。 第22讲 Fubini定理(续) * * 第22讲 Fubini定理(续) 问题2:对 Ln×Lm 任意集合 E 及 E 上的可测函数 f(x,y),如果考 虑关于 f(x,y) 的重积分化为 累次积分问题,首先应考察 什么? 可测函数截口的定义:fx,f y。 第22讲 Fubini定理(续) 定义3 如果 是 上的函数,则对每个 ,记 , 它是定义在 上的函数。 第22讲 Fubini定理(续) 类似地,如果 上相对于 的可测函数,即对任意 及任意 , ,通常称该函数为 -可测函数,则对任意 , 是 上的可测函数,对任意 是 上的可测函数。 第22讲 Fubini定理(续) 证明:对任意 及任意 , 任取 ,则 第22讲 Fubini定理(续) 由于 故 即 由此得 可测,同理可证 是 上的可测函数,证毕。 定理6 设
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