[理学]幂级数展开.ppt

第三章 幂级数展开 P46 1. , 2., 3.(1),(3),(5) P52.(3),(8) (1) 证明: 4. 展开式的唯一性 (2)对z求导 级数收敛圆半径 ,级数在整个复平面内收敛 解: 3.4 解析延拓 1.定义 解析函数定义域的扩大 ( ) (z=±i除外) 2.方法: 泰勒级数是一般方法 选取区域b的任一内点z0,在z0的邻域上把解析函数展开为泰勒级数.如果该泰勒级数的收敛圆有一部分超出区域b之外,解析函数的定义域就扩大一步.这样一步又一步,定义域逐步扩大. 3. 解析延拓具有唯一性 3.5 洛朗级数展开 泰勒级数：在收敛圆域内展开，例如： 在 的区域内函数是解析的，能否展开 成级数？ 一. 洛朗定理 （罗朗系数） 在环形区域 内单值解析， 可在环内展开为洛朗级数： 则 说明： 1.罗朗级数中 的积分表达式与泰勒级数 的 的积分表达式相同，但罗朗级数中 2.罗朗级数中有正幂部分 在 内收敛，负幂部分 是级数的主要 部分，在 内收敛 解析区域是收敛区域！！！！！ 3. 罗朗级数的展开式是唯一的 4. 展开中心不一定是函数的奇点 5. 3. 二、 将解析函数展开成洛朗级数的常用方法 解： （z≠0） （z =0） 解： 注意：首先根据指定的环域确定展开中心 展开域是收敛域 展开中心z0=0点不是函数的奇点 解： 可得 练习： 思考： 泰勒级数和洛朗级数的区别(发到邮箱zhufr@ihep.ac.cn) 作业：P60 (2)(5)(8) 以 为中心，展开 幂级数 以 为中心，展开 幂级数 * 级数也是研究解析函数的一个重要工具,我们将看到,一个函数的解析性与一个函数可否展开成幂级数的问题是等价的.这从另一个侧面提示了解析函数的本质.以此出发,我们又可以加深对解析函数的认识. 实变函数的幂级数展开是在高数里面学习的,我们已经掌握了实变函数幂级数的敛散性,幂级数收敛判据等知识.幂级数的展开非常有用,比如常微分方程的解可以用幂级数的形式表示出来.这章我们来研究复变函数的幂级数展开的相关问题. 基本要求： 理解复数项级数的有关概念； 了解幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法； 会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开； 了解解析延拓的含义*； 会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开； 熟悉孤立奇点的三种类型，了解极点的阶； 3.1复数项级数 一.复数项级数 1. 定义: 每项均为复数的无穷级数 称为复数项级数，其中 , 2.部分和: 前n项的和 称为级数的部分和 3.级数收敛的定义和条件(必要条件和充要条件) a. 定义: 有确定的极限 ，则称级数收敛, 如果当 部分和有确定的极限 即级数和 则称级数发散 称为级数和，反之，如果极限不存在， 证明: b.收敛的必要条件： c.收敛的充要条件： 任给 ，存在自然数 ，且当 ，对任何自然数 ，如果有 根据上式判断级数是否收敛，实际上比较困难.但是 根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法. 即: 级数收敛的充要条件是:级数的实部 和虚部 都收敛 例1. 判断级数 的敛散性 级数 收敛 敛散性进一步检验 发散 收敛，则称级数绝对收敛 收敛 敛散性进一步检验 发散 4.绝对收敛的定义及判别方法 A.定义 B.判别法 5.绝对收敛的性质 1.绝对收敛的级数,可重新排序,不改变其绝对收敛性与和 2.两个绝对收敛的级数可逐项相乘,所得级数仍绝对收敛 定理 4.1.8 注意：一个收敛的级数并不一定绝对收敛，但绝对收敛的级数一定收敛 3)复变函数项级数收敛 a. 定义 如果在区域B