[理学]广义特征值.ppt

矩阵的奇异值分解 4. 奇异值分解 则半正定阵 的特征值 称 为 A 的奇异值。 定理：设 其中 则存在正交阵 使得 其中V 是正交阵。令 由前式可知 其中 扩充成交阵 把 即求解方程 的基础解系， 再规范正交化即得 例5、求 的谱分解 的奇异值分解。 解： 标准正交化: 例6、求 的谱分解 的奇异值分解。 解： 1.6 广义特征值 n 阶阵A, B为实对称阵，且B为正定阵，若 则称 l 为 A 相对与 B 的广义特征值，x为 A 相对与 B 的 广义特征向量， 称为A相对与B 的特征方程。 B=E（单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 例7、设 求A相对与B 的广义特征值和特征向量。 解： Graduate Engineering Mathematics Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系 2009-3-22 工科研究生数学 --矩阵论第 1 章 基础知识 吴 群 同济大学数学系 wuqun@tongji.edu.cn 定理：若非奇异阵 A 满足以下二者之一 （1） A的各阶顺序主子式 * 1. LR (LU) 分解 1.5 矩阵分解 57 则 A可以三角分解：A = LR 且分解是唯一的. 其中 L 为单位下三角形，R 为可逆上三角形。 （2）A的元素满足 * * 例：设 求 A的三角分解 A = LR 解： * 解： * * * 例2：设 用三角分解 求解Ax = b * 解：对A做三角分解：A = LR，则 * * 其中 B 列满秩，C 行满秩。 * 满秩分解 2. 满秩分解 则称其为对A的满秩分解。 例4. 设 * 求 A的满秩分解 * 例5. 设 求A的满秩分解 * 矩阵的谱分解 3. 谱分解 称为 A的谱分解， 称为 A的谱。 注意到 故有 ， 设 则 性质: 例4、求 的谱分解 的谱分解。 解： Graduate Engineering Mathematics Graduate Engineering Mathematics