[理学]弹性力学第三章.ppt

(2) 代入应力公式，在无体力下，得 (3) 考察主要边界条件 对于任意的x值，上式均满足，由此得 (a) (b) (c) (d) 由(c)+(d)得 由(c)-(d)得 由(e)-(a)得 (e) (4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由 得 由式(b)和(f)解出 另两个积分的边界条件， 显然是满足的。 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。 由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。 代入应力公式，得 例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,如图,水的密度为 ，试求应力分量。 y o x 解： 用半逆解法求解。 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区 内 沿x 向也应是一次式变化，即 2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式， 3. 由相容方程求应力函数。代入 得 要使上式在任意的x处都成立，必须 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意体力 ，求得应力分量为 5. 考察边界条件： 主要边界 上,有 由上式得到 求解各系数，由 由此得 又有 代入A,得 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件： 由式(g),(h)解出 代入应力分量的表达式，得最后的应力解答： 例题3 已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解： 作为应力函数，必须首先满足相容程， 将 代入， (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； 必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。 例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F 和力矩 的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。 b b A y x h O F Fb/2 解： 应用应力函数求解： (1) 校核 相容方程 ，满足. (2) 求应力分量 ，在无体力时，得 (3) 考察主要边界条件， 考察次要边界条件，在y=0上， 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。 代入，得应力的解答， (4) 求应变分量， (5) 求位移分量， 将u,v代入几何方程的第三式， 两边分离变量，并令都等于ω常数，即 从上式分别积分，求出 代入 u,v, 得 再由刚体约束条件， 代入u,v,得到位移分量的解答 在顶点x=y=0， 例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数 求解应力分量。 y x o h/2 h/2 l 解：应用上述应力函数求解： (1) 将 代入相容方程， 由此， 思考题 1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？ 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹 性体中原点的平移和转动分量，并应用 本节的解答加以验证。（提示：微分体 的转动分量 ） 简支梁 ，受均布荷载 及两端 支撑反力 。 。 问题 y x o l l h/2 h/2 §3-4 简支梁受均布荷载 书中采用假设, 半逆解法 按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。由材力 ⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分， 对x再积分， (a) 半逆解法 ⑶ 将 代入相容方程，求解 : 相容方程对于任何 均应满足,故 的系数均应等于0。由此得三个常微分方程, 半逆解法 式(b)中已略去 的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得 。 (b) 半逆解法 从而解出: 对称性条件─由于结构和荷载对称于 轴，∴ 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故