[理学]微分方程模型——人口模型、传染病模型.ppt

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[理学]微分方程模型——人口模型、传染病模型

上海电力学院数理系dhy0826@126.com 微分方程模型介绍 微分方程作为数学科学的中心学科,已经有三百多年的发展历史,其解法和理论已日臻完善,可以为分析和求得方程的解(或数值解)提供足够的方法,使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。 微分方程模型介绍 微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段,对于现实世界的变化,人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律,其规律一般可以用微分方程或方程组表示 微分方程建模适用的领域比较广,利用它可建立纯数学(特别是几何)模型,物理学(如动力学、电学、核物理学等)模型,航空航天(火箭、宇宙飞船技术)模型,考古(鉴定文物年代)模型, 微分方程模型介绍 交通(如电路信号,特别是红绿灯亮的时间)模型,生态(人口、种群数量)模型,环境(污染)模型,资源利用(人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理)模型,生物(遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统)模型,医学(流行病、传染病问题)模型,经济(商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机)模型,战争(正规战、游击战)模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模,离散模型适用于差分方程及其方程组建模。 微分方程模型 微分方程建模的对象 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确定性连续问题。 微分方程建模的基本手段 主要包括下面几种方法,但是大家必须掌握元素法 微分方程模型(*/33) * 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加,人口按指数规律无限增长 参数估计 MatLAB命令线性拟合polyfit()或者 非线性拟合直接lsqcurvefit() 拟合出即可 最小二乘拟合出 r 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后,增长率下降的原因: 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报,必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例:美国人口数据(单位~百万) 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口,与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 ---Logisitic模型 调整 ,可使阻滞因子变大或缩小。 更复杂的人口模型 Gompertz模型 ---------------

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