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[理学]微积分_总复习1-4
1.无穷积分 2. 瑕积分 广义积分包括:无穷限积分 和瑕积分 仿照牛顿-莱布尼兹的形式,假设 记 注 瑕积分与定积分的记号在形式上相同,因此计算中应特别 注意。在下例中,如果没有发现x =1是瑕点,则会导致下面的错误解法 无穷限积分 是参 注:(1)此积分是收敛的。 例 1 例 2 例 3 Company Logo LOGO 主要内容有: 一、极 限 二、连 续 三、导 数 总 复 习 四、积 分 极 限 (1)两个无穷小量的代数和仍为无穷小量; (2)两个无穷小量的积仍为无穷小量; (3)无穷小量乘有界变量仍为无穷小量. 无穷大量的性质 (1) 两个无穷大量的积仍为无穷大量; (2)无穷大量与有界变量的和、差仍为无穷大量. 无穷大量与无穷小量的性质不同处 (1) 两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量. (2)无穷大量乘有界变量不一定是无穷大量. 无穷小量比较 记作 定理 1. 极限的基本性质 性质1 (唯一性) 性质2 (局部有界性) (局部保号性) 性质3 性质4 (不等式性质) 结论1、 多项式或分母极限不为 0 的有理分式, 在 时的极限值就是在点 的函数值 分母极限为 0 的有理分式 分子极限不为 0 分子极限为 0 约去零因子 结论2、 结论3、 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。 若分段函数在分段点处左右两侧表达式不同,求分段函数在分段点处的极限时,要利用定理: 计算无限项数列和的极限,要先求和,再求极限。 (夹逼定理或迫敛性) 定理 对于分段函数在分界点的连续性,一般按以下三步考察: 连 续 1.3.6 闭区间上连续函数的性质 定理 1.3.4 定理 1.3.5 定理 1.3.6 推论 导 数 结论: 如果函数 y=f (x) 在点 x 可导, 则函数在该点必连续. 反之, 结论不成立. 互为反函数的两个函数,它们的导数互为倒数。 隐函数的求导 取队数求导法 分段函数求导法 复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法: 隐函数的微分 例 解法I 第一步,两边求微分, 第二步,解出dy, 解法II 先用隐函数求导法,求出 再用微分公式,求出 中值定理 二、拉格朗日中值定理(Lagrange): 一、罗尔定理(Rolle): 三、柯西中值定理(Cauchy) 注意与零点定理应用的区别 应用 洛 必 达 法 则 3.2.1、 型未定式 3.2.2、 型未定式 3.2.3、其它未定式 讨论函数单调性、极值、凸性、拐点以及渐近线的步骤: (1) 确定函数的定义域; (b) 以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间, (c) 据表写出单调性、极值结论. (I) 首先讨论单调性、极值 (II) 其次讨论凸性、拐点 (b) 以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间, (c) 据表写出凸性、拐点结论. (III) 最后讨论渐近线 定积分的定义 定理4.2.1 (微积分学基本定理) 定理4.2.3 牛顿-莱布尼兹公式 1、直接积分法:就是直接利用已有的数学结论、积分基本公式与积分的性质来计算积分的方法 2、 凑微分法(第一类换元法) 凑微分法的步骤 3、 换元积分法(变量代换法) 利用第二换元法,当被积函数含有根式时,可作如下变换: 三角代换 定积分换元:换元必须换限 命题4.3.1 4、 分部积分法 或者 或者 1、幂函数×三角函数 2、幂函数×指数函数 把三角函数或指数函数放入微分号 3、幂函数×对数函数 (单一的对数函数) 4、幂函数×反三角函数 (单一的反三角函数) 把幂函数放入微分号 5、指数函数×三角函数 ——解方程 求有理函数积分步骤: 1、将假有理分式分解为多项式与真分式之和; 2、真分式用凑微分法, 或将真分式分解为部分分式之和; 3、求多项式与部分分式的积分. 有理函数的原函数都是初等函数. 这类问题能 够彻底解决. Company Logo * *
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