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数值分析 Numerical Analysis 教材 应用数值分析 郑咸义等 编著 （华南理工大学出版社） 参考书目 ? Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) David Kincaid Ward Cheney（机械工业出版社) ? Numerical Analysis (Seventh Edition) Richard L. Burden J. Douglas Faires （高等教育出版社） 科学计算 Scientific Computing 应用举例 应用举例 应用举例 应用举例 数值分析研究的对象 数值分析的任务 数值分析的特点 课程目的 课程主要内容 所需知识 第一章 绪 论 数值分析中一些概念 数值问题、数值解 、算法 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。 经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般数值解是近似值。 由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为数值算法（简称算法）。 数值计算中的误差 误差来源 误差来源 由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫舍入误差或计算误差。 例如 在尾数四位的浮点计算机上用0.3333表示产生的舍入误差 注 相对误差 有效数字 有效数字 注 由准确数字通过“四舍五入”得到的近似值都为有效数字。 可以通过有效数字的位数来确定误差限。 例如：若 x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，它的绝对误差限是多少？ 有效数字与相对误差的关系（P4） n 位有效数字的近似数 x * 其相对误差： 例：要使 的近似值相对误差限小于0.1%, 则 要取几位有效数字？ 假设取 n位有效数字。 基本的误差估计（P6） 函数计算的误差估计 1. 2. 基本的误差估计 计算量：一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率，通常算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也越好。 由于计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法的时间。 ?算法（秦九韶法或 Horner算法） 在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为数值稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。（P9） 因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化问题称为病态问题。病态问题也称为坏问题，这类问题通常是问题本身固有的。（P8） 复习题 习题1.1(3)(4)、1.2、1.3，1.6、1.9(1)、1.15--1.18、1.21(1); 相对误差为 的近似数 x * 至少具有 n 位有效数字。 避免相近的数相减 当x与y相近， 就可能很大，从而导致计算结果的有效数字位数的减少。 设计算法时应遵循的一些原则 用具有舍入功能的八位计算器计算 （1） （2） (1)式的准确值为0.00000003392191… , 例如 设计算法时应遵循的一些原则 例 求实系数二次方程 的根 解 考虑两种解法。 算法 1： 算法 2： 其中sign表示取数的符号，即 对算法1，若 》4ac ，分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，从而有一个较大误差。 设计算法时应遵循的一些原则 几种经验性避免误差危害的方法： 当 | x | 1 时： 设计算法时应遵循的一些原则 设计算法时应遵循的一些原则 避免大数吃小数（P13） 由于计算机的字长有限，又要作对阶处理，在数值运算中，如果数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可能出现大数“吃掉”小数的