[理学]数值分析期末复习总结.ppt

期末复习总结 董君良 北京工业大学 / 应用数理学院dongjl@bjut.edu.cn 第一章 绝对误差 相对误差 有效数字 有效数字 有效数字 第二章插值法 插值基本概念 基函数插值法 Lagrange插值 线性与抛物线插值 插值举例 插值举例 Lagrange插值 误差估计 插值余项 插值误差举例 Newton 插值 新的基函数 Newton 插值 差商 差商的性质 差商的计算 差商举例 Newton 插值公式 Newton 插值公式 Newton / Lagrange 插值举例 第三章函数逼近与FFT 函数逼近 赋范线性空间 逼近标准 函数逼近 函数逼近 正交多项式 Legendre 多项式 Legendre多项式 Chebyshev 多项式 Chebyshev多项式 Chebyshev 零点插值多项式 最佳平方逼近 最佳平方逼近 最佳平方逼近 举例 最佳平方逼近多项式 正交函数作逼近 曲线拟合 曲线拟合 最小二乘 最小二乘求解 最小二乘求解 最小二乘求解 举例 多项式拟合 举例 第四章数值积分与数值微分 数值积分 几个简单公式 一般形式 代数精度 举例 插值型求积公式 Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 公式 N-C 公式余项 复合求积公式 复合梯形公式 复合 Simpson 公式 举例 举例 第五章解线性方程组的直接方法 Gauss 消去法 Gauss 消去法 计算 LU 分解 计算 LU 分解 LU 分解算法 对称正定矩阵的Cholesky 分解 计算 Cholesky 分解 Cholesky 分解算法 Cholesky 分解算法 Cholesky 分解算法 向量范数 范数性质 范数性质 矩阵范数 算子范数 矩阵范数性质 算子范数性质 稳定性理论分析 稳定性理论分析 矩阵条件数 举例 第六章线性方程组的迭代解法 矩阵分裂迭代法 收敛性分析 Jacobi 迭代 Jacobi 迭代 Gauss-Seidel 迭代 Gauss-Seidel 迭代 SOR 迭代 SOR 迭代 收敛性 Jacobi、G-S 收敛性 SOR 收敛性 举例 举例 收敛速度 第七章非线性方程(组)的数值解法 不动点迭代 不动点迭代 连续性分析 解的存在唯一性 收敛性分析 收敛性分析 举例 局部收敛 收敛速度 收敛速度 举例 Newton 法 Newton 法 Newton 法 收敛性 举例 举例 定理：考虑线性方程组 Ax=b，设 b 是精确的，A 有微小的变化 ?A，此时的解为 x + ?x ，则 证明： 当 ?A 充分小时，不等式右端约为 设 结论 条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-范数 Cond(A)2 称为谱条件数，当 A 对称时有 例： 计算 Cond(A)? 和 Cond(A)2 解： Cond(A)?=||A-1|| ? ||A|| ? ? 4?104 Cond(A)2=?max / ?min ? 4?104 A 对称，且 计算方法 矩阵分裂迭代法基本思想 Ax = b k = 0, 1, 2, … 给定一个初始向量 x(0)，可得 迭代格式 其中 B = M-1N 称为迭代矩阵 A = M - N Mx = Nx + b M 非奇异 A 的一个 矩阵分裂 定理：对任意初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛的充要条件是 证明：板书 定理：若存在算子范数 || · ||，使得 ||B|| 1，对任意的初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛。 例：考虑迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中 基本收敛定理 充分条件 考虑线性方程组 Ax = b 其中 A=(aij)n?n 非奇异，且对角线元素全不为 0。 将 A 分裂成 A = D - L- U， 其中 k = 0, 1, 2, … 令 M = D，N = L + U，可得 雅可比 (Jacobi) 迭代方法 Jacobi 迭代 迭代矩阵记为： 分量形式： i = 1, 2, … , n， k = 0, 1, 2, … 在计算 时，如果用 代替 ，则可能会得到更好的收敛效果。 写成矩阵形式: 此迭代方法称为 高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法 k = 0, 1, 2, … 可得 迭代矩阵记为： 为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个 松弛因子?，于是可得迭代格式 在 G-S 迭代中 写成矩阵形式: 可得 —— SOR (Successive Over-Relaxation) 迭代方法 迭代矩阵记为：