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[理学]数值计算_第3章 解线性方程组的直接法
第3章 解线性方程组的直接法
在近代数学数值计算和工程应用中,求解线性方程组是重要的课题。例如,样条插值中形成的关系式,曲线拟合形成的法方程等,都落实到解一个元线性方程组,尤其是大型方程组的求解,即求线性方程组(3.1)的未知量的数值。
(3.1)
其中ai j,bi为常数。上式可写成矩阵形式Ax = b,即
(3.2)
其中,为系数矩阵,为解向量,为常数向量。当detA=D0时,由线性代数中的克莱姆法则,方程组的解存在且惟一,且有
??? ?
为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没,但是在实际计算中,我们难以承受它的计算量。例如,解一个100阶的线性方程组,乘除法次数约为(101·100!·99),即使以每秒的运算速度,也需要近年的时间。在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组,也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。从理论上来说,直接法经过有限次四则运算,假定每一步运算过程中没有舍入误差,那么,最后得到方程组的解就是精确解。但是,这只是理想化的假定,在计算过程中,完全杜绝舍入误差是不可能的,只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害,这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值,像第2章中非线性方程求解一样,计算极限过程是用迭代过程完成的,只不过将迭代式中单变量换成向量而已。在用迭代算法时,我们不可能将极限过程算到底,只能将迭代进行有限多次,得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上,直接解法和迭代解法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。一般说来,对同等规模的线性方程组,直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组,由于直接法的准确性和可靠性高,一般都用直接法求解。对于高阶方程组和稀疏方程组(非零元素较少),一般用迭代法求解。
3.1? 消元法
3.1.1 三角形方程组的解
形如下面三种形式的线性方程组较容易求解。
对角形方程组
? (3.3)
设,对每一个方程,。
显然,求解n阶对角方程的运算量为 。
下三角方程组
(3.4)
按照方程组的顺序,从第一个方程至第个方程,逐个解出。
由方程,得。将的值代入到第二个方程
得
将的值代入到第个方程
得
计算需要次乘法或除法运算,。因此,求解过程中的运算量为
上三角方程组
(3.5)
与计算下三角方程组的次序相反,从第个方程至第一个方程,逐个解出。
由第个方程。将的值代入到第个方程
得
将的值代入到第个方程
得解的通式
?????
计算需要次乘法或除法运算。因此求解过程中的运算量为
消元法的基本思想就是通过对方程组做初等变换,把一般形式的方程组化为等价的具有上述形式的易解方程组。
3.1.2 高斯消元法与列主元消元法
高斯消元法
高斯消元法是我们熟悉的古老、简单而有效的解方程组的方法。下面是中学阶段解二元方程组(高斯消元法)的步骤:
(3.6) (3.7) 方程(3.6)乘以-3加到第(3.7)个方程中得
代入(3.6)得。
其方法相当于对方程组的增广矩阵做行的初等变换:
?
已是上三角矩阵,而
为原方程组的等价方程组,已化成易解的方程组形式。再用回代方法求解,得到:
这就是高斯消元法解方程组的消元和回代过程。
一般地,可对线性方程组(3.1)施行以下一系列变换;
(1)对换某两个方程的次序;
(2)对其中某个方程的两边同乘一个不为零的数;
(3)把某一个方程两边同乘一个常数后加到另一个方程的两边。
记变换后的方程组为:
? (3.8)
显然方程组(3.1)与(3.8)是等价方程组,或者说它们有相同的解。分别记方程组(3.1)与(3.8)的增广矩阵为:
可以看出,实际上是由按一系列初等换后得到的
(1)对换某两行元素;
(2)中的某行乘一个不为零的数;
(3)把的某一行乘一个常数后加到另一行。
高斯消元法就是通过以上(3)的变换,把化为等价的上三角形式。
下面我们以为例演示消元过程。
设方程组:
(3.9)
其增广矩阵为:
(1)若,则将第一行乘以加到第二行上;将第一乘以
加到第三行上;将第一行乘以 加到第四行上得到
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