[理学]数字信号处理 第五章.ppt

5.6 设计IIR滤波器的频率变换法 （1）当Ω＝0，N为偶数时， ；当N为奇数时，Ha (j0)=1。  特点： （2）Ω=Ωc时 ， Ωc定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。 使|Ha(jΩ)|迅速单调地趋近于零。 （3）当|Ω|Ωc时，则|Ω|/Ωc1，|Ha(jΩ)|在 之间等波纹地起伏。 （4）当|Ω|Ωc时，随着Ω的增大, 迅速满足： ε2CN2 (Ω/Ωc)1 切比雪夫滤波器的三个参数一般是预先给定的; ε是与通带波纹有关的一个参数。通带波纹Ap表示成： (5-23) Ha(jΩ)|max=1 ：通带幅度响应的最大值； ：通带幅度响应的最小值 因而： (5-24) (5-25) N的数值由阻带衰减来确定。设阻带起始点频率为Ωs，此时 阻带幅度平方函数值满足： 式中，A是常数。如果用误差的分贝数As表示，则有 所以： (5-26) 设Ωs为阻带截止频率，即当Ω＝Ωs时，将上面的|Ha(jΩ)|2的表达式代入式（5-20），可得： 得： 由于Ωs/Ωc1，所以，由式（5-21）的第2式有： 由此，并考虑式（5-26），可得： (5-28) 对Ωs求解，可得 ： (5-29) 可求出3 dB带宽为： (5-30) 注意，只有当ΩcΩ3 dB时才采用式（5-30）来求解Ω3 dB。 5.4 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)。即： h(n)=ha(nT) （5-31） 式中, T是采样周期。 令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，根据采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得： 5.4.1 变换原理 （5-32） 图 5-9 脉冲响应不变法的映射关系 5.4.2 混叠失真 (5-33) 当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即： (5-34) 数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为： 不会产生混叠失真，即 ： |ω|π (5-35) 5.4.3 模拟滤波器的数字化方法 (5-36) 设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的 阶次大于分子的阶次，故： 其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即： 式中, u(t)是单位阶跃函数。 (5-37) 数字滤波器的系统函数： (5-38) (1) S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点 结论： (2) Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 (4) 数字滤波器的零点位置随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。 (3) 如果模拟滤波器是因果稳定的，则数字滤波器也是因果稳 定的。 从式（5-35）看出，数字滤波器频率响应幅度: (5-39) 则有: (5-40) (5-41) 令 : 例 5-3 设模拟滤波器的系统函数为 试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 解 直接利用式（5-40）可得到数字滤波器的系统函数为: 设T=1，则有: 模拟滤波器的频率响应Ha(jΩ)以及数字滤波器的频率响应H(ejω)分别为: 5.4.4 优缺点 1、优点 2、缺点 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 第一步：将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里； 5.5.1 变换原理 采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压 缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。 第二步：通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去 正切变换实现将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上： （5-42） 式中, T是采样间隔。 将式（5-42）写成： 令jΩ=s，jΩ1=s1， 则得： 再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面： z=es1T 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为： （5-43） (5-44） 该变换称为双线性变换。 （5-45） 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 5.5.2 逼近的情况 （1）把z=ejω代入式（5-43），可得 （2） 其次，将s=σ+jΩ代入式（5-44），