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数学建模---概率模型 决策树 航空公司的预订票策略 学生作弊现象的调查与估计 决策树 全概率公式和贝叶斯公式 数学期望的使用 后续： 航空公司的预订票策略 一趟航班运行的成本基本与实际搭乘的乘客数量无关。 航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料费用、机场承担的起飞、降落和操作费用，以及一些其它的费用（比如飞机维修费用，地面工作人员的薪金，广告费用）。不管航班是否满舱，航空公司都必需给飞行员、领航员、工程师和舱内全体职员支付薪金。而相对于半舱的航班，满舱的航班所多消耗的燃料在总体的燃料负担中仅占很小的比例。 利润 = 收入—成本 一趟航班运行的成本记为 如果一趟航班实际搭载了 名乘客，那么所得的余额是 其中， 为每名乘客支付的运费。 当乘客的数目增加时，利润也跟着增加。最大可得利润是 其中， 是航班的满舱载客量。 不同类型的乘客支付不同的运费，例如头等舱、公务舱、经济舱都有各自的定价。为了建模方便，现在假设所有的乘客都支付同样的运费。 一趟航班的收入取决于实际的乘客人数 n 当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时，达到一 个临界人数 当乘客人数少于它时，航班的经营将会造成损失。 容易看出，为了获得尽可能大的利润，航空公司应当让每一趟航班达到满舱。 误机者会影响满舱。 分析初步模型模型 每趟航班能否达到满舱？ 因此，需要在基本模型上加进反映“乘客误机”这一条件的参量，并考察其对所求利润的影响。 2）扩充模型 时也不一定能保证利润达到最大，则订票上限便不应 局限于N 值。 假设订票的总人数是 ， 有可能超出 航空公司可能从航班中得到的利润为 当 考虑到发生乘客误机的情况，使得即使订票数为 当有 个人误机时， 乘客没有搭乘航班属于偶然事件，要反映这一事件，必须加进乘客搭乘航班的概率这一参量。设有 个人误机的概率是 则所得利润的表达方式只能是利润的数学期望值，用 表示，有 设有 如果 ，则第一项和不存在， 仅由第二项和表出，并且 求和下限由0代替。 由于对航班需求的不同，显然订票的乘客数有可能小于航班载 客量，航空公司并不需要考虑超额订票的问题。 根据求解的问题，需要假设各种情况，不论航空公司决定的最 大订票数 为多少，在一些时间的热门航线中它都是有可能会 达到的。 为研究 对 的影响，将上式改写为 根据 的定义， ，因此，有 * * * * * * 例1 S1 S2 0.4 0.6 A1 100 -20 A2 75 10 A3 50 30 电视机厂试生产三种电视机Ai(i=1,2,3)。市场大、小Sj (j=1,2)。生产哪种？ 解： 100 -20 75 10 50 30 1 2 3 4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 A1 A2 A3 P(S1 )=0.4 解： 100 -20 75 10 50 30 38 1 28 2 36 3 38 4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 A1 A2 A3 P(S1 )=0.4 ? 多级决策问题 例2、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究(成功可能为0.6)，买专利(成功可能为0.8)。若成功，则有2种生产方案可选，1是产量不变，2是增产；若失败，则按原方案生产，有关数据如下。试求最优方案。 按原工艺方案生产 价低 0.1 -100 -200 -300 -200 -300 中 0.5 0 50 50 0 -250 价高 0.4 100 150 250 200 600 买专利(0.8) 自研(0.6) 产量 不变 增产 产量 不变 增产 (万元) 解： 0.1 解： 0.1 最 优 决 策 买 入 专 利，成功则增产， 失败则保持原产量。 例3 某公司有资金500万元，如用于某项开发事业，估计成功率为96%，一年可获利润12％；若失败则丧失全部资金；若把资金全存在银行，可获得年利率6%，为辅助决策可求助于咨询公司，费用为5万元，根据咨询过去公司类似200例咨询工作，有下表 ： 实施结果 投资 投资 合计 咨询意见 成功 失败 可以投资 154 2 156次 不宜投