[理学]数学建模选修课07.ppt

例1. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。 2.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用数学语言描述“桌子的四个脚同时着地”？ xA: A与地面的距离，xB、xC、xD。 2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 θ ：AC与X轴的夹角。 θ0≦ θ ≦ θ0+ 900= θ1. xA( θ ) 表示在位置θ时，桌脚A与地面的距离。 同样 xB( θ ), xC( θ ), xD( θ ). 令 f(θ)=xA(θ)+xC(θ),g(θ)=xB(θ)+xD(θ) 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ)g(θ)≡0. 桌子在位置θ* 四脚落地,则有 f（θ*)=0,g(θ*)=0. 若 f(θ0)=0, g(θ0)0, 则有f(θ1)0,g(θ1)=0 令 h(θ)=f(θ)-g(θ),则有h(θ)连续且 h(θ0) 0, h(θ1) 0，则根据介值定理，必有θ’，使得h(θ’)=0.得证。 思考问题： 将例1 的假设1 改为“方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形”， 试构造数学模型证实结论同样成立。 例2 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，而用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工,包扎时不剪断带子. 参量、变量： W：带宽，C：截面周长，?：倾斜角 模型（倾斜角模型） 讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？ 模型（截口模型） 例 题 已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带长 M？ 问题的深入分析 若有带长M1=51m，缠绕包扎上面的管道。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕时允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001) 假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 参 数 人数 nk,教室距离Lk,门宽D. 速度v，间隔d，疏散时间Tk 模型的建立 T1=((n1 -1 ) d+L1)/v T2=((n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v T12=((n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v, (L2+D)≥n1d [(n1+ n2-1 )d+L1] /v, (L2+D)n1d 讨 论 1. 模型分析 ：T=((n-1)d+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3. d ↘, 则T↘ . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 修 改 假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同w 继 续 讨 论 1. T=((n-1)d+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗,(n人). 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 4.考虑厚度的影响 T=((n-1)d+nw+L)/v, 若v→v*,d=0,则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？ 继续修改假设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d） 模 型 T=((n-1)d+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d↗, 则v↗; 若d→∞,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短. 问 题 在上面的讨论中，证明: 如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*， 使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优疏散方案。 1.5 数学建模过程 问题的叙述：原始、粗糙、不规范。 问题的假设：问题的研究手段。 问题的分析：正确的推理，对实际的理解。 问题的标准：接受实践的检验、与实际差异不大。 问题的答案：不确定、不封闭。 人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦发现了美洲新大陆