[理学]数学物理方法01.ppt

数学物理方法 李禄 山西大学物理电子工程学院 理论物理研究所 感兴趣的方向 光学传输理论 非线性动力学 孤子理论 计算物理 数学物理方法 复变函数 数学物理方程 参考文献 数学物理方法，吴崇试 数学物理方法，梁昆淼 数学物理方法，郭本宏 Methods of Mathematical Physics， H.Jeffeys and B.Jeffeys，Third Edtion，Cambridge University Press,1972 MatLab工程数学应用，许波，刘征编著 Mathematica 4.0使用教程，刘元高，刘耀儒 Maple计算机代数系统应用及程序设计，李世奇，杜慧琴 第一章 复数与复变函数 第一节 复数及运算 第二节 区域 第三节 复变函数 第四节 复变函数的极限和连续性 第一节 复数及运算 复数的概念 复数的表示 复数的运算 复球面 第二节 区域 区域的概念 单连通域与多连通域 第三节 复变函数 复变函数之定义 复变函数举例—基本初等函数 第四节 复变函数的极限和连续性 复变函数的极限 复变函数的连续性 对数函数 性质1 单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域 限制值域 Riemann面 性质2 注意 符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别 恒等式 下列式子不成立 举例 计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i) O x y 1+i 2 -i -1 三角函数 性质 周期性 恒等式 非有界函数 举例 求解sinz=0的全部根 求解sinz=2的全部根 反三角函数 双曲函数 性质 1. 以2?i为周期 2. 与正弦函数、余弦函数的关系 3. 恒等式 反双曲函数 幂函数 设函数?=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|?内。如果有一个确定的数A存在，? ? 0，? ?(?) 0，使当0|z-z0| ?时，有| f(z)-A |?，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，记为 定理1 定理2 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A= u0+iv0，z=x0+iy0，那么 举例 称函数?=f(z)在z=z0点连续，如果 1. f(z0)存在；2. 定理3 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。 定理4 连续函数的四则运算仍连续。 举例 * * 办公室一楼118房间 电话7011314 复数相等 复数 形如z=x+iy的数被称为复数，其中x , y?R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1 z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1 复平面 复数与平面向量一一对应 z平面 复数z=x+iy 虚轴 实轴 模 幅角 复数不能比较大小 主幅角 代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cos?+isin?) 指数表示： z=rexp(i?) 注意 在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k? 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 ? z2 =(x1 ? x2) +i(y1 ? y2 ) 复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则 z1 +(- z2) - z2 乘法运算 两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加 除法运算 两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减 共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy 共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点 无穷远点 举例 邻域 平面上以z0为中心，?为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的? -邻域 |z-z0|? 0|z-z0|? z0 ? z0 ? 开集 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。 G z0 区域 平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。 边界 设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用?D来表示。 闭区域 区域D连同它的边界?D一起构成闭区域，记为 D z1 z2 p x y O R x y O R x y R O r ?1 x y R -R O x O y x O y ?2 ?1 设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。 B B 单连通域 多连通域 举例 用复数表示的平面点集 设G是一个复数z=x+iy