[理学]文科数学第三章第八节.ppt

◆高考总复习?数学?(文科)◆ ◆高考总复习?数学?(文科)◆ 第八节　解三角形的应用 第三章　三角函数与解三角形 考 纲 要 求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 课 前 自 修 知识梳理 一、实际问题中的相关术语、名称 1．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角[如图(1)]. 2．方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等． 3．仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角．视线在水平线下方的角叫俯角[如图(2)]． (3) 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数[如图(3)，角θ为坡角]. 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比 二、正、余弦定理可以解决的实际问题 距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等． 基础自测 1．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 (　　) A．α，a，b B．a，b，γ C．α，β，a D．α，β，b 解析：由于A与B不可到达，故不易测量α，β，而a，b，γ容易测出．故选B. 答案：B 2．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为 (　　) A．(15＋3 ) m B．(30＋15 ) m C．(30＋30 ) m D．(15＋30 ) m 3．(2012·杭州市模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得 ∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝30 m，并在点C 测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝______m. 4．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为____________． 考 点 探 究 考点一 高度问题 【例1】　在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至点D处，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高度． 思路点拨：根据几个已知的仰角，把其他几个角表示出来，设AE＝h，可以在三个直角三角形和两个斜三角形中解决问题，因此方法较多． 自主解答： 点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角形中. 测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，解两个三角形，运用解方程思想解决问题． 变式探究 1．从某电视塔的正东方向A处，测得塔顶仰角是60° ；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间的距离是35 m，则此电视塔的高度______m(结果保留根号)． 考点二 距离问题 【例2】　某市电力部门在抗洪救灾的某项重建工程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离. 现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的 倍．问：施工单位至少应该准备多长的电线？ 思路点拨：连接AB，这样，所求线段就在△ABC和△ABD中，再依据题设条件求出这两个三角形中的某一个三角形的两条边，就可以使用余弦定理求得AB的距离． 自主解答： 点评：距离的测量问题，关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，若三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．本题中把测量目标纳入到△ABC或者△ABD皆可，再通过△ACD和△BCD求出边长，这样，再利用余弦定理就可以解决问题． 变式探究 2．如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．问：乙船每小时航行多少海里？ 考点三 角度问题 【例3】　 (2011·北京市海淀区模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏