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[理学]方向导数与梯度
方向导数与梯度 沿什么方向具有最大的增长率, (2) 最大增长率为多少? 解 方向具有最大的增长率, 最大的增长率为: 即为梯度方向. 1992年研究生考题, 填空,3分 解 方向导数与梯度 方向导数与梯度 函数 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 梯度场 (势) ( 势场 ) 如: 温度场,电位场,密度场等 如: 力场,速度场等 三、数量场与向量场的概念 (物理量的分布) 例 解 其方向余弦为 方向导数与梯度 故 方向导数与梯度 方向导数的概念 梯度的概念 方向导数与梯度的关系 (注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别) (注意梯度是一个向量) 梯度的方向就是函数 在这点增长 最快的方向. 方向导数与梯度 四、小结 数量场与向量场的概念 方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 小结 思考题 作业 directional derivative and gradient 第七节 方向导数与梯度 数量场与向量场的概念 第八章 多元函数微分法及其应用 1. 方向导数的定义 设有二元函数 沿任何方向的变化率. 考虑函数在某点 射线是指有方向的半直线, 即 一、方向导数概念与计算公式 方向导数与梯度 定义 如果极限 存在, 则将这个极限值称为函数 在点 记为 即 注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 方向导数与梯度 2. 方向导数的几何意义 的几何意义为曲面, 当限制 自变量沿方向 变化时, 对应的空间点 形成过 的铅垂平面与曲面的交线, 这条交线在点M有一条 记此半切线与方向 的夹角为 则由方向导数的 半切线, 定义得 方向导数与梯度 ρ一定为正! 是函数在某点沿任何方向的变化率. 方向导数 偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 Δx、Δy可正可负! 的变化率. 注 方向导数与梯度 事实上, 的方向导数存在, 事实上, 同理, 的方向导数存在, 方向导数与梯度 存在时, 方向导数与梯度 反之, 存在时, 是否一定存在 方向导数与梯度 例如, 函数 沿方向 的方向导数 但 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在. 证 由于函数可微, 得到 3. 关于方向导数的存在及计算公式 充分条件 定理 可微, 则函数 且 则增量可表示为 两边同除以 方向导数与梯度 故有方向导数 方向导数与梯度 注 即为 (1) (2) 计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数. 方向导数与梯度 在定点 的方向导数为 (3) (4) 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 . ] 0 [ 的方向角 是 , 、 l p b a ? 例 考虑函数 定点P0(3,1), P1(2,3).求 函数在 P0沿 方向的方向导数. 解 方向导数与梯度 解 由方向导数的计算公式知 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 并问在怎样的方向上此方向导数有 例 方向导数与梯度 故 方向导数达到最大值 方向导数达到最小值 方向导数等于 和 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 问在怎样的方向上此方向导数有 方向导数与梯度 方向导数与梯度 求函数 在点P( 2, 3 )沿曲线 朝x增大方向的方向导数. 用参数方程表示为 它在点P 的切向量为 解 将已知曲线 , 17 1 cos = \ a 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数 它在空间一点 的方向导数, 可定义为 方向导数与梯度 同理, 当函数在此点可微时, 那末函数在该点 沿任意方向l的方向导数都存在, 且有 是l的方向向量. 解 令 故 其方向余弦为 1991年研究生考题, 计算,5分 例 方向导数与梯度 ) 1 , 1 , 1 ( 6 3 2 2 2 2 P z y x n 在点 是曲面 设 = + + , 处指向外侧的法向量 故 方向导数与梯度 练习 求函数 在点 处沿 解 切线方向的方向向量 在此点的切线方向上 方向导数与梯度 曲线 的方向导数. 1996年研究生考题, 填空,3分 解 此方向的方向向量为 方向导数与梯度 问题 方向导数与梯度 二、梯度概念与计算 已知方向导数公式 方向: 模: 方向一致时, 方向导数取最大值 f 变化率最大的方向 f的最大变化率之值 函数 沿什么方向的方向导数为最大 (gradient) 一个二元函数在给定的点处沿不同方向 的方向导数是不一样的. ) cos , (cos 0 b a = l r 方向导数与梯度 定义 记作 读作nable. 即 为函数
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