[理学]本科离散数学_第6章.pdf

第6章 几个典型的代数系统 第6章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环和域 6.7 例题选解 习题六 第6章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群 是半群的特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的 代数系统，它比半群复杂一些，而半群概念是在群的 理论发展之后才引进的。逻辑关系见图6.1.1 。 第6章 几个典型的代数系统 半群 群 图 6.1.1 第6章 几个典型的代数系统 定义6.1.1 设〈S ，*〉是代数系统，*是二元运算， 如果*运算满足结合律，则称它为半群（semigroups ）。 换言之，　x ,y ,z ∈S,若*是S 上的封闭运算且满足  (x *y ）*z=x * （y *z ），则〈S ，*〉是半群。 许多代数系统都是半群。例如，〈N,+ 〉， 〈Z, ×〉, 〈P(S),　, 〈SS,　〉（SS={f f| :S→S},　是复合 运算）均是半群。但〈Z,-〉不是半群。 第6章 几个典型的代数系统 + 再如，设Σ是有限字母表，Σ是Σ中的字母串 * + Σ={ λ} ∪Σ，其中λ是不含字母的空串，运算τ是 * 字母串的“连接”运算，则〈Σ, τ〉是半群。如 Com ∈Σ*,puter ∈Σ*,经τ运算后，得Computer仍是字 母串。 第6章 几个典型的代数系统 a b  【例6.1.1 】S  | a,b R,a 0) 0 0  ,则〈S,·〉是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。 证明对任意的 a1 b1 a2 b2  S , S 因为     0 0  0 0  a b a b  a a b b  1 1 2 2 1 2 1 2 且a a ≠0,所以 ·      1 2 0 0 0 0   0 0  a a b b   1 2 1 2 S ,因此·运算封闭。  0