[理学]概率论 第十三讲 协方差与相关系数.ppt

* 教学目的：? 1.矩的概念. 2 .协方差与相关系数 3切贝谢夫不等式 第十三讲 协方差与相关系数 教学内容： 第三章， § 3.6 ～ 3.7 。 一 矩 设 X 为离散 r.v. 分布为 X连续 r.v. ，d.f. 为 定义 二 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 称 为 X ,Y 的协方差. 记为 称 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵 协方差和相关系数的定义 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 事实上， 若 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 解 例2设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为 求 例3 设?~ U(0,2?) , X=cos ? , Y=cos( ? +? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解 若 若 有线性关系 若 不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 协方差的性质 协方差和相关系数的性质 当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当 时, 等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式 证 令 对任何实数 t , 即 等号成立 有两个相等的实零点 即 显然 即 即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种 线性关系为 完全类似地可以证明 当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当 时, 等式成立. 相关系数的性质 Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立 即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为 如例1中 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 已求得 , 则必有 其中 X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 三、切比晓夫不等式 定理：（切比晓夫不等式） 随机变量X有数学期望 , 对任意 0, 不等式 成立， 或 返回主目录 * *