[理学]概率论与数理统计第12讲.ppt

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的 协方差和相关系数 §4-3 协方差、相关系数和矩 一.协方差与相关系数的概念 1.定义 设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X), E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov (X,Y), 即 Cov(X, Y ) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]? 2. 计算 (1) 若二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为 且C o v(X,Y)存在, 则 (2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x , y ), 且C o v (X, Y)存在，则 (3) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y 独立， Cov(X,Y)= 0 . Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 =E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) } (5) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (2) Cov(X, Y)= Cov(Y,X) 3.简单性质 (4) Cov(aX, bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 (6) 若X,Y 的协方差Cov(X,Y)存在，则 E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y) (3) Cov(X, X)=D(X) (1) Cov(X, a)= 0 若X1, X2, …, Xn两两独立,，上式化为 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 4、 随机变量和的方差与协方差的关系 求 cov (X ,Y ) 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 例2: 设(X，Y)在圆域 上服从均匀分布，求Cov(X, Y) 。 解： （X,Y)的联合密度函数为 先分别求EX，EY （一）可先分别求X,Y的边缘分布，然后求期望 同理可求EY=0 所以 （二）可直接求X，Y的期望 同理可求EY=0 所以 例3：设(X,Y)的联合密度函数为 求Cov(X+Y, X-Y) Cov(X+Y,X-Y)=cov(X,X-Y)+cov(Y,X-Y) =cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)-cov(Y,Y) =DX-DY (1) 解： 由联合密度函数可知 故 （1）=0 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . 二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 . 1、 定义:若二维随机变量(X, Y )的分量的方差D(X), D(Y)都存在，且D(X)0, D(Y)0, 则称 在不致引起混淆时，记 为 . 2 、定义 若?XY =0 则称X , Y 不相关； 若?XY ?0 称X, Y正相关； 若?XY ?0 则称X, Y负相关。 例4: 设(X,Y)在圆域 上服从均匀分布，判断X,Y是否不相关。 解：由例2知cov(X,Y)=0 故 即：X和Y不相关 例5 设(X, Y)服从二维正态分布 求X和Y的相关系数 解：易知 X和Y不相关 ? ? =0 所以有 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 例6 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 ? XZ 解 例7：设X?U[0,2?], Y=cos(X), 求?XY 解：易知 故 ?XY=0 例8：设X?N(0,4), Y??（4）, ?XY =1/2, 求E(X+Y)2 解：易知 EX=0,DX=4 EY=4,DY=4 E(X+Y)2=D(X+Y)+(E(X+Y))