[理学]概率论与数理统计第二章.ppt

设 X~ , X 的分布函数是 正态分布 的分布函数 正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 的正态分布称为标准正态分布.记为 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 标准正态分布 的性质 : 事实上 , 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布. 引理 证 Z 的分布函数为 则有 根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. 于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 正态分布表 当 x 0 时 , 表中给的是 x 0 时, Φ(x)的值. 若 若 X～N(0,1), ~N(0,1) 则 例 3 例4 泊松定理 设 是一个常数，n是任意正整数，设 则对于任一固定的非负整数k，有： 当n很大时，可以用泊松分布来逼近二项分布。 教材38页例5 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量. 离散型随机变量由它的分布律唯一确定. 四、小结 第三节 随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 离散型随机变量分布函数的求法 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的 概率. 设 X 是一个 随机变量，称 为 X 的分布函数 , 记作 F (x) . 定义2.2: 1、分布函数的定义 (1)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量. (2)只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. 如:对任意实数a、b、x1x2 P{ x1X x2} =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 请注意 : 2、分布函数的性质 (1) (2) 不可能事件 必然事件 性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 个随机变量 的分布函数的充分必要条件. (3) F(x) 右连续，即 设离散型 随机变量 X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和. 一般地 则其分布函数 3、离散型随机变量分布函数的求法 具体求时，先根据 的取值情况将分布函数定义域 分为若干个区间，再在每个区间上讨论F(x)的取值。 当 x0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 例1 设 随机变量 X 的分布律为 当 0 x 1 时， F(x) = P{X x} = P(X=0) = F(x) = P(X x) 解 X 求 X 的分布函数 F (x) . 当 1 x 2 时， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1 故 的分布函数图 第四节 连续型随机变量及其概 率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 . 1、 连续型随机变量及其概率密度的定义 有 ,使得对任意实数 , 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在 上连续 2、概率密度 f(x) 的性质： f (x) 0 x 1 面积为1 利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 x2 ) , 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落 在区间 上的概率与区间长度