[理学]概率论与数理逻辑2.pdf

第二章 随机变量及其分布 教学内容：随机变量的概念，离散型随机变量的分布律及其性质，二项分布 与泊松（Poisson）分布分布函数及其性质，连续型随机变量的 概率密度及其性质， 正态分布，均匀分布及指数分布，二维随 机变量的联合分布函数及其性质，二维离散型随机变量，二维连 续型随机变量，边缘分布及条件分布，随机变量的独立性，随机 变量的函数的分布． 教学目的：（1）了解随机变量的概念，理解分布函数的概念和性质． （2）理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机 变量的概率密度及其性质,会用概率分布计算有关事件的概率． （3）掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布及指数分 布． （4）了解多维随机变量的概念了及二维随机变量的联合分布函 数，联合概率密度、联合分布律的概念与性质，并会计算有关 事件的概率． （5）掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系，理解条 件分布的概念． （6）理解随机变量独立性的概念，会应用随机变量的独立性进 行概率计算． （7）会求简单的一维随机变量函数的分布，会求两个独立随机 变量的简单函数的分布． （8）了解二维均匀分布和二维正态分布． 教学重点：二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的概念性 质 教学难点：条件分布的概念． 教学方法：启发式． 教学手段：板书、演讲． 教学时间：14学时． 教学内容： 1 随机变量 定义 设 为概率空间， 是定义在样本空间 上的单值实 (Ω, F , P) X(ω) Ω 函数，若对于任一实数 ，有{ω| X(ω) ≤ x}∈F ，则称X(ω) 为随机变量． x 通常以X(ω), Y(ω), Z(ω),⋯等表示随机变量，为书写简便，将之记为 X,Y, Z,⋯等．随机变量的取值随试验的结果而定，因此，在试验之前只知 道它的取值范围但不能预知它取什么值．此外，试验的每个结果的出现都有 一定的概率，因而随机变量取各个值都有一定的概率．这些都表明了随机变 量与普通函数有着本质的差异． 引入随机变量以后，就可以用随机变量X来描述随机事件． 例1 在“掷硬币”这个试验中，可定义 ⎧1, ω为“出现正面”， X(ω) = ⎨ ⎩0 , ω为“出现反面”， 则{ω| X(ω) =1}和{ω| X(ω) = 0} 就分别表示了事件{出现正面}和{出现反 面 } ， 且 有 P{ω| X(ω) = 1}= P{出现正面}= 1/ 2 和 P{ω| X(ω) = 0} = P{出现反面} =1/ 2 ． 例2 在“测量灯泡寿命”这个试验中，若以X(ω) 表示灯泡的使用寿 命，则{ω| X(ω) =t}表示{灯泡寿命为 （小时）}，而{ω| X(ω) ≤t}表示{灯 t 泡寿命不超过 （小时）}． t 为 简 便 计 ， {ω| X(ω) = x} 、 {ω| X(ω) ≤ x} 、 P{ω| X(ω) = x} 和 P{ω| X(ω) ≤ x}分别记为{X=x}、{X≤ x} 、P{X= x}和P{X≤ x}． 2 离散型随机变量及其分布律 定义 如果随机变量 的取值