[理学]概率论第五章复习.ppt

极值分布 例16 已知 是相互独立的指数分布随机变量,有 试求随机变量 的概率密度. 解 由已知有 于是,由公式有 (1) (2) （22）(本题满分13分) 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度 （II）Z=2X-Y的概率密度 （III） 解：（Ⅰ） 1 y=2x x 当z0时，F＝0；当z≥2时，F＝1； 当0≤z2时， 所以： （Ⅲ） 1 y=2x 2x-y≤z 2x-y≤2 1-z/2 2-z 则有 推广 若X的分布密度为f(x), 则M与N的分布密度为 5.6 从二项分布到正态分布 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，下面介绍最常用和简单的一种中心极限定理: 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 又如测量误差等均是由许多随机因素影响的综合结果 人们发现炮弹落点的坐标，测量误差近似服从正态分布 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 独立同分布下的中心极限定理 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v 之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …,Xn是独立同分布的随机变量序列，且(Xi)=μ，D(Xi)=σ2 ，i=1,2,…,n，则 (列维--林德伯格（Levy－Lindberg）定理) 应用：虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n 很大时，可以求出近似分布. 定理 由定理1有结论成立。 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数为n,p(0p1)的二项分布， (De Moivre--Laplace) 则对于任意x ，恒有： 特别地，当Xi 为(0,1)分布时，即为棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）。 ， 则 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。 设随机变量 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 当 n 充分大时有： 特别地，对 k=0,1,…n, 有 书例24. 某车间有200台同类机器,每台机器在工作时需电力Q千瓦.由于工艺原因每台机器工作时间只占全部时间的75%，而在任一时间内各机器是否工作是独立的，求 (1)在工作时间内，任一时刻有144到160台机器在工作的概率。 (2)对该车间至少供应多少电功率，可以保证机器不会因缺电而影响工作的概率不小于0.99 用ξ表示在某时刻工作着的机器数， 则ξ ~B(200,0.75), 解 对每台机器的观察作为一次试验， 每次试验观察该台机器在某时刻是否工作， 工作的概率为0.75，共进行200次试验. n=200, p=0.75 由于n 较大，故用极限定理得 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似服从N(0,1)分布, P(0≤ ξ≤m}≥0.99 (2) 设供应m台机器的电力，问题归结为求m,使 P(0≤ ξ≤m} 反查正态分布表得 也就是说, 应供应165 千瓦电力就能以99%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. 书例26:假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。 由德莫佛-拉普拉斯定理 解： 近似~N(0,1) 25.235 25.565 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么正态分布在自然界中极为常见这一事实. 例如 设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下频率柱形图,该呈现产品的尺寸近似为正态分布。 第四节 数字特征 5.4.1 数学期望 5.4.2 二维随机变量的协方差