[理学]理论力学11.ppt

例10 如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度ω0绕水平轴转动，其阻力矩 M＝－aw (a为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转? 解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有 M w0 将（1）式变换，有 将上式求定积分，得 11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程 11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程 将(1)式改写为 即 将上式求定积分，得 转过的角度为 因此转过的转数 11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程 例11 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。 解：分别以两轮为研究对象，受力如图 由运动学关系，得 M FO1y FO1x Ft Fn m1g FO2y FO2x m2g O1 O2 F′ t F′ n O1 r1 r2 O2 M 注意到 ，联立求解以上三式得 由刚体定轴转动的微分方程，有 11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程 O FOx FOy W=mg O FOy FOx W=mg 解除约束前： FOx=？,FOy=？ 例题12 关于突然解除约束问题 FOx=0, FOy=mg/2 突然解除约束瞬时： 11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程 突然解除约束瞬时 解：应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理得： ? O FOx FOy W=mg 分析： 杆绕O轴的转动惯量为： 杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。 这时，??0，??0 需要先求出? ，再确定约束力。 由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为： 对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关。 在国际单位制中，转动惯量的单位是: kg·m2。 同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的 11.4 刚体对轴的转动惯量 刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即 而它对某定轴的转动惯量却是常数 因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。 （1） 均质细杆 z1 x C z x O l 设均质细杆长l，质量为m 11.4 刚体对轴的转动惯量 1 简单形状物体的转动惯量 取微段dx,则 dx x dx x （2） 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 设细圆环的质量为m，半径为R。 （3）均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的质量为m，半径为R。 将圆板分为无数同心的薄圆环。 任一圆环的质量为dm＝ρ·2πrdr 11.4 刚体对轴的转动惯量 ρ＝m/πR 2 则 于是圆板转动惯量为 11.4 刚体对轴的转动惯量 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为 如果已知回转半径，则物体的转动惯量为 回转半径的几何意义是： 对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。 2 回转半径(惯性半径) 假想地将物体的质量集中到一点处 并保持物体对轴的转动惯量不变 则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。 11.4 刚体对轴的转动惯量 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 证明： 因 y, y1 z1 z d x m C O z＝z1 x＝x1 r1 r y y1 x1 3 平行轴定理 即 由质心坐标公式 由定理可知： 当坐标原点取在质心 C 时 11.4 刚体对轴的转动惯量 yC＝0 于是得 又有Smi＝m Smiyi＝0 刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。 例13 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。 解：由 ，得 (1)－(2)得 z z1 z2 a b C 11.4 刚体对轴的转动惯量 11.4 刚体对轴的转动惯量 例14 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。 解： 思考： 例15 如图所示，质量为m的均质空心圆柱体外径为R1，内径为R2，求对中心轴 z 的转动惯量。 解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成 设m1、m2分别为外、内圆柱体的质量，则 于是 11.4 刚体对轴的转动惯量 外圆柱体的转动惯量为J外 内圆柱体的转动惯量为J内取负值 即 设单位体积的质量为ρ 代入前式得 注意到rp l (R21－R22)＝m 11.4 刚体对轴的转动惯量 则 则得 如图所示，O为固定点，C为质点系的质心 对于任一质点mi 于是 由于 ri ri rC mi y y x z C O x z vi 11.5 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系对于固定点O的动量矩为 ri ri rC mi y y x z C O x z