d4函数的凸性拐点与渐近线.ppt

第三章 函数微分学的应用 §3.4 函数的凸性 曲线的拐点与渐近线 本节内容 二、曲线的渐近线 与函数作图 一、函数的凸性与拐点 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 引入： 在研究函数时，仅仅知道函数的单 调性是不够的，如图所示，这两个函 数都是单调增加，但曲线的弯曲方向 有明显区别，这就是函数图形凹凸性 问题，如何来刻画凹凸性呢？ §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 一、函数的凸性与拐点 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 . 则称 几何解释：所谓凹凸，即区间I上任意两点的中点对应的纵坐标，恒小于（大于）联接这两点的弦中点对应的纵坐标. §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 定理1. (1) 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间 I 上连续, 该定理的几何解释： §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 定义2 . 设函数 拐点 说明: §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例1. 判断函数 的图形的凹凸性. 解: 故曲线 在 的图形是凹的. 例2. 判断函数 的图形的凹凸性. 解: 故函数 在 的图形是凸的. §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例3. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 对应 例4. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 二、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 1. 斜渐近线 斜渐近线 若 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 2. 水平与垂直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有铅直渐近线 例5. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为铅直渐近线. 水平渐近线即k=0时的斜渐近线 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例6. 求曲线 的渐近线. 解: 所以有垂直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例7. 求曲线 的渐近线. 解: 又因 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 三、函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例8. 描绘函数 的图形. 解: 1) 函数定义域为 2) 求关键点. 求导得 求二阶导数得 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 又因 即 5) 求特殊点 为斜渐近线 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 6）绘图 (极大) (极小) 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 无定义 §3.4 函数的凸性 拐点与渐近线 例9. 描绘函数 的图形. 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 求关键点 3) 判别曲线形态 (极大) (拐点)