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杨X——学生版——自主招生——(专题六) 不等式——放缩法
自主招生专题辅导六 不等式—放缩法
不等式,因其思维跨度大、构造性强,成为压轴题。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩裂项放缩 (1)
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基础题分析:
【例1】(1)求的值; (2)求证:.
【例2】(1)求证:
(2)求证: (3)求证:
(4) 求证:求证:
2008年)设函数.数列满足..设,整数.证明:.
2011年)已知,求证: .
2002年)已知,,求证:.
【例3】(2012年)已知,,
求证:
函数放缩构造函数有函数构造形式: ,函数构造形式:
函数构造形式:
基础题分析
【例1】求证:.
求证:(1)求证:
求证:和.
求证: 证明:
【例7】已知证明(2009北约试题)已知函数若
(2002年浙江大学) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证:函数上是增函数; (II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
姐妹不等式:和也可以表示成为和
证明:
求证:在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明4,; (2)证明有,使得对都有.
已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。
设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:.、放缩
已知,求证:当时,
设,求证对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|
求证:求证:若,求证:已知数列的前项和满足证明:对任意的整数,有设函数若对一切,,求的最大值。
、,,
基础题分析
已知证明已知是正整数,且(1)证明;(2)证明
【例4】设,求证. 求证:2011年卓越试题) 已知函数,满足:
①对任意,都有;
②对任意都有.
(I)试证明:为上的单调增函数;
(II)求;
(III)令,试证明:.
已知函数f(x(的定义域为[0,1],且满足下列条件:
① 对于任意[0,1],总有,且;② 若则有
(Ⅰ)求f(0(的值;(Ⅱ)求证:f(x(≤4;
(Ⅲ)当时,试证明:.
六、利用定积分的保号性比大小上的可积函数,则.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:
①;②;
③;④.
求证:.
【例2】求证:,.
【例3】 已知.求证:.【例1】(2013年北约试题)设,如图,已知直线及曲线:,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列.
(Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当时,证明.
、.
放缩法常见技巧分析:
一、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:.
基础题分析
【例1】求证:对一切,都有.
【例2】已知数列满足:,求证:
【变式训练】已知数列满足:,求证: .
提高题分析
【例1】(2010年北约试题)已知数列,,,.记,.求证:当时.
(1); (2); (3).
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