带导数条件的二次插值多项式公式适定性f0.ppt

* 《数值分析》典型例题 III 五、六章内容提要 典型例题分析 部分习题解答 补充练习题 ? ? ? ? 若插值结点 x0, x1,…,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,···,n)的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且惟一。 多项式插值的存在唯一性定理 Laglarge插值公式 插值基 ( k = 0, 1, 2, ······ , n ) 2/16 插值误差余项 其中, 问题1:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。 3/16 已知 x0, x1, ···, xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn). ( j = 0,1,…,n-1 ) ( j = 0,1,…,n-2 ) 均差的定义 牛顿插值公式 ( k=1,2,···,n ) 问题2:证明一阶差商的对称性：f[x0，x1] = f[x1，x0]，进一步证明二阶差商的对称性。 4/16 牛顿插值余项 ( j = 0, 1 ) 三次Hermite插值 给定[a , b ]的分划: a = x0 x1 … xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果 满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n). 则称S(x)为三次样条插值函数. 三次样条的定义 6/16 拟合函数: ?(x)=a0 ?0(x) + a1 ?1(x) + ······ +an ?n(x) 数据拟合的线性模型 离散数据 x x1 x2 ·········· xm f(x) y1 y2 ·········· ym 超定方程组 超定方程组最小二乘解: 6/16 Ex1.设x0，x1，……，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明 7/16 x x0 x1 ·········· xn f(x) 1 0 ·········· 0 证 由基函数插值条件计算差商 ········· ········· 代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有 Ex2.设x0, x1, x2, …, xn为互异的结点,求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式 (1) (2) ( k = 1,···,n ) 证: (1)令 在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,···,n ) n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点?Pn(x) = 0 ? 8/16 所以 将 f(x) = xk (k ≤n) 代入, 得 (k =0,1,2,······,n) 问题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明： f(x) = Pn(x) + (x – x0) (x – x1)……(x – xn) (2) 取 f(x) = xk ? f(n+1)(x)=0 ? Rn(x) =0 9/16 Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而 ?n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn) 证明存在常数Ak( k =0，1，…，n)使得 10/16 证 由n次多项式插值得 其中 ? 证明: F[ x0, x1,······, xn ] = Ex4. 记 ?n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn) ( j = 1,2, ···, n ) 对比Lagrange插值和Newton插值中 xn 的系数, 得 F[ x0, x1,······, xn ] = 11/16 Ex5. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f’ (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。 思考: 带导数条件的二次插值多项式公式适定性 f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0； 12/16 解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H’(x) = a1 + 2a2x ? *