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高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习) g3.1032导...
g3.1032导数的概念与运算
一、知识回顾
⒈导数的概念:
⑴曲线的切线;
⑵瞬时速度;
⑶导数的概念及其几何意义.
.设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则函数相应地有增量,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即:
函数的导数,就是当时,函数的增量与自
变量的增量的比的极限,即
.
函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点
处的切线的斜率.
⒉常用的导数公式:
⑴(C为常数); ⑵();
⑶; ⑷;
⑸*; ⑹*;
⑺; ⑻;
⑼; ⑽.
⒊导数的运算法则:
⑴两个函数四则运算的导数:
①; ②; ③.
⑵复合函数的导数:.
二、基本训练
1.(05浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( )
(A) (B) (C) (D)1
2.若,则
3.如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,
(1)当t1=4,△t=0.01时,求△y和比值; (2)求t1=4时,的值;
(3)说明的几何意义.
4.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y),则为……………( )
A.△x+ +2 B.△x--2 C.△x+2 D.2+△x-
5.一质点的运动方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为……( )
A. 3△t+6 B. -3△t +6 C. 3△t-6 D. -3△t-6
6.已知两曲线和都经过点P(1,2),且在点P处有公切线,试求a,b,c值。
三、例题分析
例1、用定义求在点x=10处的导数。
例2 求下列函数的导数:
(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3)
(4) (5) (6)
例3、已知曲线C:
(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程;
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
例4(1)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=t2,求t=4s时, 此球在垂直方向的瞬时速度.
(2)质点P在半径为10cm,圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动,角速度为1rad/s, 设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上射影点M的速度.
四、课堂小结
1.函数的导数实质是一个极限问题,不应理解为平均变化率,而是平均变化率的极限
2.求函数的导数要熟练掌握求导公式,特别是复合函数的导数要学会合理地分拆。
3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题如:切线、加速度等问题打下理论基础.
答案
基本训练
1.B 2. -1 6.解:因为点P(1,2)在曲线上,
函数和的导数分别为和,且在点P处有公切数
,得b=2
又由,得
例题
例1.
例2.(1), (2);
(3), (4);
(5), (6).
例3.(1)切线方程为,即
(2)除切点外,还有两个交点。
例4.(1)米/秒, 即球在垂直方向的瞬时速度8米/秒.
(2)点P在y轴上射影点M的速度为cm/s .
五、作业 g3.1032导数的概念与运算
1.函数y=(x+2a)(x-a)2的导数为( )
A.2(x2-a2) B.3(x2+a2) C.3(x2-a2) D.2(x2+a2)
2.y=ln[ln(lnx)]的导数为( )
A. B. C. D.
3.函数y=sinnxcosnx的导数为( )
A. nsinn-1xcosnx B. nsinnxcosnx C.nsinnxcos(n+1)x D.nsinn-1xcos(n+1)x
4.若y=32xlg(1-cos2x),则为( )
A.4·9x[2ln3lg(1-cos2x)+lge·cotx] B. 4·9x[2ln3lg(1-cos2x)+lg10·cotx]
C. 2·9x[ln3·lg(1-cos2x)+lge·cotx] D. 以上皆非
5.已知f(x)=x为 ( )
A. B. C. D.以上皆非
6. (05湖北卷)在函数的图象上
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