单参数变换群在Riccati方程中的应用.pdf

第 26卷 第 6期 钦 州 学 院 学 报 2011年 12月 V0l_26N0．6 JOURNALOFQ[NZHOUUNIVERSITY 1)ee．．2011 单参数 变换群 在 Riccati方程 中的应 用 韦玉程，韦胜英 (河池学院 数学系，广西 宜州 546300) [摘 要] 使用单参数变换群为工具对Riceati方程进行研究。在给定的单参数变换群的作用下讨论 了具 有一阶可微系数的Riccati方程的形式不变性条件，同时也得到了单参数变换群作用下的无穷小形式、经典坐标 及其约化方程。 [关键词] 单参数变换群；Riccati方程；无穷小形式；经典坐标 [中图分类号]0175．1 [文献标识码]A [文章编号]1673—8314(2011)06—0012—04 Lie群是 18世 纪末期 由挪威 数 学 家 M．S．Lie 化 为形 如 ： 创建发展起来 的，到 了今天 ，它在微分方程研 究 中 + [2 ()y。()一P(戈)]W=一 () 的重要作用 引起 了越来越受到众多物理学家和数 可解 的一 阶线性微分方程 』，所 以寻找各种 学家 的关注和重视 ，并在理论 和实 际应用研 究 中 不 同形式 的 Rieeati方 程 的一 个 特 解 就成 为 解 不断得 以发展 。关 于 Lie群方面 的 比较系统 内容 Rieeati方程 的一个重要任务 。本文主要从单参数 和一些重 要 的应 用 可见 Olver的 [1]及 田畴 的 变换群方法对 Riecati方程进 行研 究 ，给 出了单参 [2]。其它 的应用也可参见文献 [3]-[6]。 数变换群作 用下 Rieeati方程不变性 的条件 以及 如下形 式 的方程 称 为 Riecati方程 经典坐标 下 的约化方程 。 Y +P()y=q()+ ()Y ， (1．1) 1 预 备 知识 其 中P()、q()、 ()是某个 区间 内的 已 知一 阶可微 函数 ，且 ()≠0。Rieeati方程在 常 定义 1 在 一，，平面上 ，给定变换 微分 的早期发展 中引起很大 的注 意 ，意大利数学 1=／ ，y，)，y1=g( ，)，，)， 家 Riecati在 1724年 给 出了它 的特殊形式 ，后来 (一∞8+∞ ) (2．1) 引起许 多学者 的研 究 。Alembert在 1763年给 出了 若其满足 ：(1) =0表示恒等变换 ，即 它 的一般 形 式 ，并 首 先称 之 为 “Riecati方 程 ”。在 = I厂( ，y，0)，Y=g( ，y，0) 许 多物理 和工程应用 以及控制论 中，解 Reeati方 (2) 一8表示逆变换 ，即 程是一个重要 的任务 。然而 ，1841年 Liouville证 = 1，yl，一 ) ，y=g(1，Y1，一占)， 明了这样 的一个事 实 ：除 了某些特殊情形外 ，就方 (3) 两个 变 换 的如 下 定 义 “乘 积 ”是 封 闭的且 满 程 (1．1)，对一 般 的函数 P()，q()， ()，方程 足结合律 。令 (1．1)其通解不可能用初等函数或初等 函数 的积 2=／ 1，yl，)，y2：g(1，y1，6)， 分给予表示 。因此 ，Rieeati方程 的求解 问题变 “乘积 ”(两次变换合成 ：(，)，)一 ( ，Y)一 成相 当的困难 ，但 却是十分有意义 的 问题 。对 于 (2，y2))