《几何与代数》 科学出版社 第二章 矩阵5.ppt

矩 阵 基本运算 逆 矩 阵 初等变换 秩 分块矩阵 线性运算（加法、数乘） 乘法→方幂 (交换律、消去律) 转 置 定义及运算性质 求 法 伴随矩阵法 初等变换法 初等阵 等秩、等价，行阶梯、标准形 定 义 性 质9条 求 法：初等（行）变换 加、数乘、乘 、转置、初等变换 行列式乘法公式 定义法 等价条件 应用：线性方程组 (AB)T = BTAT |AB| = |A| |B| (A) 填空题选择题：作为课下练习 (A) 1(1,2),2(1) (B) 3(1-6,10),4(1),9 (B) 留作业 每周三交作业 (C) 课下提高题：有时间的话尽量做 二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4) (B) 5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*, 15,16 三. (A) 2(5) (B) 14(1,2),17,18,20,21 四. (A) 2(6-8) (B) 22(1),23,24,25 五. (A) 1(8-10), 2(9-10) (B) 25,27,28*,29*,30,31* 几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 教学内容和学时分配 第二章 矩 阵 教 学 内 容 学时数 §2.1 矩阵的代数运算 2 §2.2 可逆矩阵 2 §2.3 分块矩阵 1 §2.4 矩阵的秩 1 §2.5 初等矩阵 2 §2.6 用Matlab解题 1 思考题： 初等阵可逆吗？如何证明？ 若可逆，其逆矩阵是什么？ P(i,j) = 第i行 1 1 0 … … … 1 1 … … … 0 1 1 1 1 … … … … … … 第j行 第i列 第j列 P(i,j)?1 = P(i,j) E ri ?rj P(i,j) (1) 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 P(i(k)) = 第i行 1 k 1 1 第 i 列 1 (P(i(k)))?1 = P(i(1/k))) E ri?k P(i(k)) (2) 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 P(i,j(k)) = 第i行 1 … … k 1 1 …… 第j行 第i列 第j列 1 ? A?1CB?1=(0?0 ?k) P(i,j(k))?1 = P(i,j(?k)) E ri+krj P(i,j(k)) (3) 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 一次初 等变换 (左行右列) 一次初等 行变换 一次初等 列变换 Am?n 行最简形U 等价标准形 初等 列变换 初等 行变换 左乘初等阵P1,P2,…, Ps 右乘初等阵Q1, Q2, …, Qt 一. 初等矩阵与矩阵的乘积 P1,P2,…, Ps A = U §2.5 初等矩阵 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 二. 用初等变换求逆矩阵 命题. 初等矩阵都可逆, 且P(i,j)?1 = P(i,j), (P(i(k)))?1 = P(i(1/k)), (P(i,j(k)))?1= P(i,j(?k))). 命题. 对m?n矩阵A, 总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2,…, Ps ,使得 P1P2…Ps A = U . 问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？ E ? 可逆方阵A = Ps?1 … P2?1 P1?1. 定理2.5 n阶方阵A可逆 ? A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, …, Ps ,使得A = P1P2…Ps . 二. 用初等变换求逆矩阵 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 推论2.1 设A,B都是m?n矩阵，则A?B ?存在初等阵使B=P1…Ps AQ1…Qt ?存在m, n阶可逆阵P,Q使得B=PAQ. 定理2.5 n阶方阵A可逆 ? A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, …, Ps ,使得A = P1P2…Ps . 推论2.3 对m?n矩阵A, r(A) =r ?存在初等阵使A=P1…Ps Q1…Qt ?存在m, n阶可逆阵P,Q使得 A=P Q. ? A,B同型，且r(A) = r(B) = r(PAQ). 第二章 矩阵 §2.5 初等矩阵 (A,B为方阵. ) (方阵A可逆 ) ? A为非奇异阵、非退化阵、满秩 ? A与E相抵 ? A的行最简形矩阵为E. ? A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, …, Ps ,使得A = P1P2…Ps . 可逆阵A Ps Ps-1…P2P1(A E) = (E, A?1 ) Ps Ps-1…P2P1 A=E (A