2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第七章 第七节--向量方法-[理].doc

第七章 第七节 立体几何中的向量方法 [理] 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号知识点 容易题(题号) 中等题(题号) 稍难题(题号) 利用空间向量证明 平行、垂直问题 1 11 利用空间向量求异面 直线所成角、线面角. 2、3 4、6、7 8 利用空间向量求二面角 5 10、12 9 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析：若l∥α，则a·n＝0. 而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6， C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0. 答案：D 2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ等于(　　) A．2　　　　　　　B．－2C．－2或 D．2或－ 解析：cos〈a，b〉＝＝＝，λ＝－2或. 答案：C 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　) A. B. C. D. 解析：(特殊位置法)将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连接A1E，则A1E为OA1在平面AD1内的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角．或建系利用向量法． 答案：D 4．(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：如图连结A1B，则有A1B∥CD1， ∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1， 则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=. 由余弦定理可知：cos∠A1BE= 答案：C 5．(2009·滨州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：以A为原点建系，设棱长为1. 则A1(0,0,1)，E(1,0，)， D(0,1,0)， ∴＝(0,1，－1)， ＝(1,0，－)， 设平面A1ED的法向量为 n1＝(1，y，z) 则∴ ∴n1＝(1,2,2)， ∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的锐二面角的余弦值为. 答案：B 6．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30° B．45°C．60° D．90° 设各棱长为1，则AE＝， DE＝，tan∠ADE＝＝＝， ∴∠ADE＝60°. 答案：C 二、填空题 7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________． 解析：建立坐标系如图， 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈〉＝＝. 8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________． )， 则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)， 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， 则cos〈，n〉＝＝＝， ∴〈，n〉＝60°， ∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________． 解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得＝，设侧面与底面所成二面角为θ，则cosθ＝＝＝， ∴θ＝60°. 答案：60° 三、解答题 10．(2009·包头模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点． (1)求证：PB∥平面EAC； (2)若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值． (1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在△PDB中，OE∥PB，又OE?平面AEC， PB?平面AEC，故PB∥平面AEC. (2)设AD=AB=PD=PA=a， ∵侧