正态布的一个刻画分.pdf

应用溉率统计 第五卷 C ne∞JourralofAppliedProlzbfl／t， 第三期 1989年 8月 and8 ti日 ~o1．5．NO．3 A嘴 198 正 态 分 布 的 一 个 刻 画 武 坤 (中南工业大学) 搞 娶 丑 ．CHF,N在支 【1]牢给出了正卷分布Ⅳ(0J1)的—个性质并推广至多元情形，本文进 一 步扩展了这些结果，并且证观但倪正杏分布有此性质，从而得到了正森分布的—个劐画． §1．主 要 结 果 设 ∞一(逝，…， 0～Ⅳ(0，j0， 为 上的有一阶偏导的实值函数，Lou~sⅡ Y．CHF,N 在 [1]中证明了 Vat[g(~，…，蹋)】≤∑ 【幽 (赶，…， 】 (1．1) 本文将把上面结论扩展至一般的正态随机 向量 Ⅳ(，鄙，并证明其逆也成立 从而得到 正态分布的一个刻画． 定理 设随机向量 $一(逝，…， 的均值为 1】…， 协方差阵为三一(II)那 么，对一切 n元实多项式 ，成立； V …， ]《∑ ∑ 幽 a．2) 的充分必要条件为 ～Ⅳ ，三)． §2． 一1时定理的证明 当 一1时，q．2j式成为；(其中 =Vat() Var (g)]《 (] (2．1) 先证明=个 I理，为此需要用到下面的定理，此定理引 自[2]． Car]amen8定理：若{ 一1，2，…)是一数列且使级数2(胁)’伪发散，则至多 只有一个分布函数能 以{ }为其各阶矩． 日l理 1 随机变量 ∞以 r(2m+1)『J 一2m+2 r … 脚一10 ∞ 2m+1 一 O，1，…，为其各阶矩当且仅当 一Ⅳ(0 1)． 本文 987年 9月 垂日收到，10钾年 工0月 2B日收到修改稿． ·25t · 证 充分性是显然的，下证必要性，由C~rlemen定理， {酵证明毂教 茎(阳)一一薹[肋(一1)If]一一耆 ] 套叠岛 发傲，丽这 由对数判别法郎知 对任意小正数 8(不妨设小予 1／2)有 号挚 一[1n善甚 ≤丢+盎 一e(当 由时) I 引理2 设随机变量 $(忍 = ，Vat( —0 关于 对称，那么对 一切实多项式 有 (2．1)成立的充分必要条件是 ～Ⅳ( 口J) 证 (1)当 一0时，结论显然，因为这时∞服从退化分布． (2)当 O时． 若 $一Ⅳ( 口J)，则 y-兰二 兰-一Ⅳ (0，1) 由 ．1)式知： 、r )]≤ [ (]’ 0．2) ．．．V (]一V [(+盯 ]≤ [ (+o)]’ 一 )]一 叼 (。)]。 反之，若∞为关于 对称且满足 (2．1)式，则 为关于 0对称，方差为1且满足式 (2．2)(对