第八章 拉普拉斯变换.ppt.ppt

由推广的约当引理可知 (1) (2) 根据引理一有 在 C1 和 C2 上， ，分别令 得到 (3) (4) (5) 将(2)~(5) 代入(1)，可得 当 时 令 第四章第五节（含参量的反常积分的解析性）中有 因而 即 还可以得到公式 对上式右边做拉式变换，并交换积分次序： 证明 f(t) 满足 存在的充分条件， ， 则 F(p) 在 的半平面上解析。 像函数的导数的反演 即 可推知 ∴ 有理函数 F(p) 总可以通过部分分式求反演。 例题 解 求 部分分式： 所以 例题 解 求 的原函数。 部分分式： 例题 解 求 部分分式： 所以 例题 解 求 部分分式： 所以 例题 解 求 例题 解 求 延迟性： 若 存在，且 t →0 时， 有界，则 像函数的积分的反演 设 ∵ ∴ （像函数的导数的反演） 证明 即 （两边同时作反演） 当 p = 0 时， 所以，可利用 计算 型积分。 ∴ 例题 解 曾用留数定理计算过的积分 例题 解 计算积分 ? 卷积 设函数 f1(t) 和 f2(t) 在 t ≥0 时连续，则由积分 所确定的函数 h(t) 称为 f1(t) 和 f2(t) 的卷积，记作 定义 若 ， ，则 卷积定理 定理 即 证明 （令 ） （改变积分次序） 例题 解 求 y(t) 。 例题 解 求 f(t) 。 对方程做拉式变换 例题 解 交流 LR 电路的方程为 求 i(t) 。 稳定振荡部分 + 衰减部分 若函数 F(p) = F(s + is ) 在区域 Rep s0 内满足： 1） F(p) 解析； 2）当∣p∣→∞ 时，F(p) 一致地趋于 0； 3）对于所有的 Rep = s s0 ，沿直线 L: Rep = s 的无穷积分 收敛。 则对于 Rep = s s0 ，F(p) 的原函数为 9.4 普遍反演公式 Mellin 反演公式 用 Mellin 公式求 的原函数。 F(p) 的奇点都在虚轴上，故取 s 0 即可 取如图围道，因为 例题 解 由推广的约当引理断定 由留数定理可知 有两个二阶极点 用 Mellin 公式求 的原函数。 积分路径 L: Rep = s 0 是右半平面上的一条平行于虚轴的无穷直线，被积函数为多值函数，p =0 和 p = ∞是支点，积分围道如图，围道内无奇点。 例题 解 第八章 拉普拉斯变换 数学物理方法—— 积分变换： 可逆积分 f(x) 是 F(p) 的原函数， F(p) 是 f(x) 的像函数， k(x, p) 为积分变换核。 A 类函数中的函数 f(x) B 类函数中的函数 F(p) 拉普拉斯变换是一种在数学和物理及工程科学中广泛应用的积分变换。 其中 为实数， 是复数。 F(p) 称为 f(t) 的拉普拉斯变换式（拉式换式）。 是拉普拉斯变换核。 9.1 拉普拉斯变换 定义 ⊙ 拉普拉斯变换（拉式变换） 说明：约定 f(t) 为 f(t)h(t) ，亥维赛的单位阶跃函数 即 t 0 时，f(t) = 0 。 拉普拉斯变换可以简写为： 或者 或者 f(t) 是 F(p) 的原函数，F(p) 是 f(t) 的像函数。