圆的对称性—垂径定理 Microsoft PowerPoint 演示文稿.ppt

典型例题 例3. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 方法总结： 延伸提高 * 圆的对称性 ——垂径定理 探讨圆的对称性 （1）圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ ●O 你是用什么方法解决上述问题的? 活 动 一 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 可利用折叠的方法即可解决上述问题. （2）圆是中心对称图形吗？圆是旋转对称图形吗？ 我们可以用旋转的方法即可解决这个问题 发现结论： 1.圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。 2.圆是中心对称图形，圆的对称中心是圆心。 3.圆是旋转对称图形，圆的旋转中心是圆心。 O A C B N M D 任意一条直径都是圆的对称轴 · O A B C D E 活 动 二 画一条弦AB，再画一条直径CD使CD⊥AB垂足为E.以CD所在的直线对折你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法. 发现相等的线段： 相等的弧： AE=BE. ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂直于 ┗ 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧。 弦 的直径， ∵ 在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E ⌒ AC = BC ⌒ ⌒ AD = BD ⌒ C . O A E B D (1)文字语言： (2)几何语言： ∴ AE=BE （3）结构语言： ① CD是直径 ②CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ③AE=BE, ⌒ ⌒ ⑤AD = BD. 例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · O A B E 解： 答：⊙O的半径为5cm. 典型例题 在Rt △ AOE 中由勾股定理得 ∴由垂径定理得 AE=BE=1/2AB=4cm 1、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8， OA = 5，则AC = ，OC = 。 ┏ 5 8 4 3 1、在⊙O中，C为AB上一动点，OC最长为 5，最短为3，则弦AB= 。 5 跟踪练习 3 8 例2 .已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆 于C、D两点。 求证：AC＝BD。 则由垂径定理得 AE＝BE，CE＝DE。 . A C D B O 典型例题 E 证明：过O作OE⊥AB， 垂足为E。 ∴ AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD 方法总结： 垂径定理常见辅助线为，圆心遇弦作垂直，并结合勾股定理进行求解。 E D ┌ 600 E D ┌ 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： ⑴d + h = r ⑵ 作业评讲 ： （1） 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。 解：连接OA 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，由垂径定理得 ∴ AB =2AM △OMA是Rt △ ∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10 ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6 根据勾股定理，得： ∴ ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16 （2）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD. 求证：AC = BD。 ⌒ ⌒ F E 解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E 在⊙O中，OF⊥弦AB，由垂径定理得 G 交⊙O于点G 交AB于点F， ∴ AG = BG ⌒ ⌒ ∵ OE⊥弦CD，由垂径定理得 ∴ CG = DG ⌒ ⌒ ∴ AG - CG = BG - DG ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 即 AC = BD ⌒ ⌒ 1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. E ● O C D E F ┗ *